Разделы сайта
Выбор редакции:
- Ток-шоу "экология жилища и здоровье человека"
- Состав и строение земной коры Горные породы по группам
- Характеристика планет земной группы
- Прилагательные в английском языке Многосложные прилагательные в английском языке примеры построения
- Викинги – люди саги. Жизнь и нравы. Викинги. Ирландская сага Скандинавские саги читать онлайн
- Святополк I (князь Великой Моравии) Святой ростислав князь моравский
- Михаил Ланцов Смерть Британии!
- Том Сойер - обычный ребенок из благополучной семьи
- Алексей Кириллович Разумовский
- Методическое пособие по истории древнего мира (Годер Г
Реклама
У корень их х. Степенная функция и корни - определение, свойства и формулы. Свойства функции y=√x |
Квадратный корень как элементарная функция.Квадратный корень - это элементарная функция и частный случай степенной функции при . Арифметический квадратный корень является гладким при , а нуле он непрерывен справа, но не дифференцируется. Как функция комплексный переменный корень — двузначная функция, у которой листы сходятся в нуле. Построение графика функции квадратного корня.
2. Наносим точки, которые мы получили на координатную плоскость. 3. Соединяем эти точки и получаем график функции квадратного корня: Преобразования графика функции квадратного корня.Определим, какие преобразования функции необходимо сделать для того, чтобы построить графики функций. Определим виды преобразований.
Зачастую преобразования функций оказываются комбинированными. Например , нужно построить график функции . Это график квадратного корня , который нужно перенести на одну единицу вниз по оси OY и на единицу вправо по оси ОХ и одновременно растянув в 3 раза его по оси OY . Бывает непосредственно перед построением графика функции, нужны предварительные тождественные преобразования либо упрощения функций. Урок и презентация на тему: "Степенные функции. Корень кубический. Свойства корня кубического"Дополнительные материалы
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 9 класса
Определение степенной функции - кубического корняРебята, мы продолжаем изучать степенные функции. Сегодня мы поговорим о функции "Корень кубический из х".А что же такое корень кубический? Число y называется корнем кубическим из x (корнем третьей степени), если выполняется равенство $y^3=x$. Обозначают, как $\sqrt{x}$, где х - подкоренное число, 3 - показатель степени. $\sqrt{27}=3$; $3^3=27$. $\sqrt{(-8)}=-2$; $(-2)^3=-8$. Как мы видим, корень кубический можно извлекать и из отрицательных чисел. Получается, что наш корень существует для всех чисел. Корень третьей степени из отрицательного числа равен отрицательному числу. При возведении в нечетную степень знак сохраняется, третья степень является нечетной. Проверим равенство: $\sqrt{(-x)}$=-$\sqrt{x}$. Свойства корней кубическиха) $\sqrt{a*b}=\sqrt{a}*\sqrt{6}$.б) $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$. Давайте докажем второе свойство.
$(\sqrt{\frac{a}{b}})^3=\frac{\sqrt{a}^3}{\sqrt{b}^3}=\frac{a}{b}$. Ребята, давайте построим график нашей функции.
Примеры решения степенных функцийПримеры1. Решить уравнение $\sqrt{x}=x$. Решение. Построим два графика на одной координатной плоскости $y=\sqrt{x}$ и $y=x$. Как видим наши графики пересекаются в трех точках. Ответ: (-1;-1), (0;0), (1;1). 2. Построить график функции. $y=\sqrt{(x-2)}-3$. Задачи для самостоятельного решения1. Решить уравнение $\sqrt{x}=2-x$.2. Построить график функции $y=\sqrt{(x+1)}+1$. 3.Построить график функции и прочитать его. $\begin{cases}y=\sqrt{x}, x≥1\\y=(x-1)^2+1, x≤1 \end{cases}$. Основные цели: 1) сформировать представление о целесообразности обобщённого исследования зависимостей реальных величин на примере величин, связанных отношением у= 2) формировать способность к построению графика у= и его свойства; 3) повторить и закрепить приёмы устных и письменных вычислений, возведение в квадрат, извлечение квадратного корня. Оборудование, демонстрационный материал: раздаточный материал. 1. Алгоритм: 2. Образец для выполнения задания в группах: 3. Образец для самопроверки самостоятельной работы: 4. Карточка для этапа рефлексии: 1) Я понял, как построить график функции у=. 2) Я могу по графику перечислить его свойства. 3) Я не допустил ошибок в самостоятельной работе. 4) Я допустил ошибки в самостоятельной работе (перечислить эти ошибки и указать их причину). Ход урока 1. Самоопределение к учебной деятельности Цель этапа: 1) включить учащихся в учебную деятельность; 2) определить содержательные рамки урока: продолжаем работать с действительными числами. Организация учебного процесса на этапе 1: – Что мы изучали на прошлом уроке? (Мы изучали множество действительных чисел, действия с ними, построили алгоритм для описания свойств функции, повторяли функции изученные в 7 классе). – Сегодня мы продолжим работать с множеством действительных чисел, функцией. 2. Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности Цель этапа: 1) актуализировать учебное содержание, необходимое и достаточное для восприятия нового материала: функция, независимая переменная, зависимая переменна, графики y = kx + m, y = kx, y =c, y =x 2 , y = - x 2 , 2) актуализировать мыслительные операции, необходимые и достаточные для восприятия нового материала: сравнение, анализ, обобщение; 3) зафиксировать все повторяемые понятия и алгоритмы в виде схем и символов; 4) зафиксировать индивидуальное затруднение в деятельности, демонстрирующее на личностно значимом уровне недостаточность имеющихся знаний. Организация учебного процесса на этапе 2: 1. Давайте вспомним как можно задать зависимости между величинами? (С помощью текста, формулы, таблицы, графика) 2. Что называется функцией? (Зависимость между двумя величинами, где каждому значению одной переменной соответствует единственное значение другой переменной y = f(x)). Как называется х? (Независимая переменная - аргумент) Как называется у? (Зависимая переменная). 3. В 7- м классе мы изучили функции? (y = kx + m, y = kx, y =c, y =x 2 , y = - x 2 , ). Индивидуальное задание: Что является графиком функций y = kx + m, y =x 2 , y = ? 3. Выявление причин затруднений и постановка цели деятельности Цель этапа: 1) организовать коммуникативное взаимодействие, в ходе которого выявляется и фиксируется отличительное свойство задания, вызвавшего затруднение в учебной деятельности; 2) согласовать цель и тему урока. Организация учебного процесса на этапе 3: – Что особенного в этом задании? (Зависимость задана формулой y = с которой мы еще не встречались). – Какая цель урока? (Познакомиться с функцией y = , ее свойствами и графиком. Функцией в таблице определять вид зависимости, строить формулу и график.) – Можно сформулировать тему урока? (Функция у=, ее свойства и график). – Запишите тему в тетради. 4. Построение проекта выхода из затруднения Цель этапа: 1) организовать коммуникативное взаимодействие для построения нового способа действия, устраняющего причину выявленного затруднения; 2) зафиксировать новый способ действия в знаковой, вербальной форме и с помощью эталона. Организация учебного процесса на этапе 4: Работу на этапе можно организовать по группам, предложив группам построить график y = , затем проанализировать получившиеся результаты. Также группам можно предложить по алгоритму описать свойства данной функции. 5. Первичное закрепление во внешней речи Цель этапа: зафиксировать изученное учебное содержание во внешней речи. Организация учебного процесса на этапе 5: Постройте график у= - и опишите его свойства. Свойства у= - . 1.Область определения функции. 2.Область значений функции. 3. y = 0, y> 0, y<0. y =0, если x = 0. y<0, если х(0;+) 4.Возрастания, убывания функции. Функция убывает при х . Построим график у=. Выделим его часть на отрезке . Заметим, что у наим. = 1 при х = 1, а у наиб. =3 при х = 9. Ответ: у наим. = 1, у наиб. =3 6. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону Цель этапа: проверить своё умение применять новое учебное содержание в типовых условиях на основе сопоставления своего решения с эталоном для самопроверки. Организация учебного процесса на этапе 6: Учащиеся выполняют задание самостоятельно, проводят самопроверку по эталону, анализируют, исправляют ошибки. Построим график у=. С помощью графика найдите наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке . 7. Включение в систему знаний и повторение Цель этапа: тренировать навыки использования нового содержания совместно с ранее изученным: 2) повторить учебное содержание, которое потребуется на следующих уроках. Организация учебного процесса на этапе 7: Решите графически уравнение: = х – 6. Один ученик у доски остальные в тетрадях. 8. Рефлексия деятельности Цель этапа: 1) зафиксировать новое содержание, изученное на уроке; 2) оценить собственную деятельность на уроке; 3) поблагодарить одноклассников, которые помогли получить результат урока; 4) зафиксировать неразрешённые затруднения как направления будущей учебной деятельности; 5) обсудить и записать домашнее задание. Организация учебного процесса на этапе 8: – Ребята, какая цель стояла сегодня перед нами? (Изучить функцию у=, ее свойства и график). – Какие знания нам помогли в достижении цели? (Умение искать закономерности, умение читать графики.) – Проанализируйте свою деятельность на уроке. (Карточки с рефлексией) Домашнее задание п. 13 (до примера 2) № 13.3, 13.4 Решите графически уравнение. Урок и презентация на тему: "График функции квадратного корня. Область определения и построение графика"Дополнительные материалы
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
График функции квадратного корняРебята, с построением графиков функций мы с вами уже встречались, и не раз. Мы строили множества линейных функций и парабол . В общем виде любую функцию удобно записать, как $y=f(x)$. Это уравнение с двумя переменными - для каждого значения x мы получаем y. Выполнив некоторую заданную операцию f, мы отображаем множество всех возможных x на множество y. В качестве функции f мы можем записывать практически любую математическую операцию.Обычно при построении графиков функций мы пользуемся таблицей, в которой записываем значения х и у. Например, для функции $y=5x^2$ удобно использовать следующую таблицу: Отметим полученные точки на декартовой системе координат и аккуратно соединим их гладкой кривой. Наша функция не ограничена. Только этими точками мы можем подставить совершенно любое значение х из заданной области определения, то есть тех х, при которых выражение имеет смысл. На одном из прошлых уроков мы изучили новую операцию извлечения корня квадратного . Возникает вопрос, а можем ли мы, используя эту операцию, задать какую-нибудь функцию и построить ее график? Воспользуемся общим видом функции $y=f(x)$. y и х оставим на своем месте, а вместо f введем операцию корня квадратного: $y=\sqrt{x}$. Построение графика функции квадратного корняДавайте построим график этой функции. Исходя из определения корня квадратного, мы можем вычислять его только из неотрицательных чисел, то есть $x≥0$.Составим таблицу: Отметим наши точки на координатной плоскости. Нам осталось аккуратно соединить полученные точки. Ребята, обратите внимание: если график нашей функции повернуть на бок, то получится левая ветка параболы. На самом деле, если строчки в таблице значений поменять местами (верхнюю строчку с нижней), то у нас получаться значения, как раз для параболы. Область определения функции $y=\sqrt{x}$Используя график функции, свойства описать довольно таки просто.1. Область определения: $$. б) $$. Решение. А) Вернемся к графику функции, построенному выше, и отметим требуемые точки отрезка. Хорошо видно, что при $х=9$ функция больше всех остальных значений. Значит и наибольшее значение она достигает в этой точке. При $х=4$ значение функции ниже всех остальных точек, а значит, тут и есть наименьшее значение. $y_{наиб}=\sqrt{9}=3$, $y_{наим}=\sqrt{4}=2$. Б) Мы знаем, что наша функция возрастающая. Значит, каждому большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Наибольшее и наименьшее значение достигаются на концах отрезка: $y_{наиб}=\sqrt{11}$, $y_{наим}=\sqrt{2}$. Пример 2. Решить уравнение: $\sqrt{x}=12-x$. Решение. Проще всего построить два графика функции и найти их точку пересечения. На графике хорошо видна точка пересечения с координатами $(9;3)$. А значит, $х=9$ - решение нашего уравнения. Ответ: $х=9$. Ребята, а можем ли мы быть уверены, что больше решений у этого примера нет? Одна из функций возрастает, другая - убывает. В общем случае, они либо не имеют общих точек, либо пересекаются только в одной. Пример 3. Построить и прочитать график функции: $\begin {cases} -x, x 9. \end {cases}$ Нам нужно построить три частных графика функции, каждый на своем промежутке. Опишем свойства нашей функции: 1. Область определения: $(-∞;+∞)$. 2. $y=0$ при $х=0$ и $х=12$; $у>0$ при $хϵ(-∞;12)$; $y 3. Функция убывает на отрезках $(-∞;0)U(9;+∞)$. Функция возрастает на отрезке $(0;9)$. 4. Функция непрерывна на всей области определения. 5. Наибольшего и наименьшего значения нет. 6. Область значений: $(-∞;+∞)$. Задачи для самостоятельного решения1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции корня квадратного на отрезке:а) $$; б) $$. 2. Решить уравнение: $\sqrt{x}=30-x$. 3. Построить и прочитать график функции: $\begin {cases} 2-x, x 4. \end {cases}$ 4. Построить и прочитать график функции: $y=\sqrt{-x}$. Рассмотрим функцию y=√x. График этой функции показан на рисунке ниже. График функции y=√x Как видите, график напоминает повернутую параболу, точнее одну из её ветвей. Мы получаем ветвь параболы x=y^2. Из рисунка видно, что график лишь один раз касается оси Оу, в точке с координатами (0;0). Свойства функции y=√x1. Область определения функции явяется луч } |
Читайте: |
---|
Популярное:
Квадратичная функция Сдвиг функции по оси х |
Новое
- Состав и строение земной коры Горные породы по группам
- Характеристика планет земной группы
- Прилагательные в английском языке Многосложные прилагательные в английском языке примеры построения
- Викинги – люди саги. Жизнь и нравы. Викинги. Ирландская сага Скандинавские саги читать онлайн
- Святополк I (князь Великой Моравии) Святой ростислав князь моравский
- Михаил Ланцов Смерть Британии!
- Том Сойер - обычный ребенок из благополучной семьи
- Алексей Кириллович Разумовский
- Методическое пособие по истории древнего мира (Годер Г
- Критерий согласия Пирсона (критерий хи-квадрат)