Разделы сайта
Выбор редакции:
- Характеристика планет земной группы
- Прилагательные в английском языке Многосложные прилагательные в английском языке примеры построения
- Викинги – люди саги. Жизнь и нравы. Викинги. Ирландская сага Скандинавские саги читать онлайн
- Святополк I (князь Великой Моравии) Святой ростислав князь моравский
- Михаил Ланцов Смерть Британии!
- Том Сойер - обычный ребенок из благополучной семьи
- Алексей Кириллович Разумовский
- Методическое пособие по истории древнего мира (Годер Г
- Критерий согласия Пирсона (критерий хи-квадрат)
- Этапы процесса моделирования
Реклама
Момент инерции относительно параллельно перенесенных осей. Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей. Центробежный момент инерции |
Оси, проходящие через центр тяжести плоской фигуры, называют центральными осями. Теорема Момент инерции относительно какой-либо оси равен сумме момента инерции относительно центральной оси, параллельной данной, и произведения площади фигуры на квадрат расстояния между осями. Для доказательства этой теоремы рассмотрим произвольную плоскую фигуру, площадь которой равна А
, центр тяжести расположен в точке С
, а центральный момент инерции относительно оси x
будет I x
. I x1 = Σ y 1 2 dA + Σ (y + a) 2 dA = Анализируя полученную формулу, отмечаем, что первое слагаемое - осевой момент инерции относительно центральной оси, второе слагаемое - статический момент площади этой фигуры относительно центральной оси (следовательно, он равен нулю), а третье слагаемое после интегрирования может быть представлено в виде произведения a 2 A , т. е. в результате получим формулу: I x1 = I x + а 2 А - теорема доказана. На основании теоремы можно сделать вывод, что из ряда параллельных осей осевой момент инерции плоской фигуры будет наименьшим относительно центральной оси . Главные оси и главные моменты инерции Представим себе плоскую фигуру, моменты инерции которой относительно осей координат I x иI y , а полярный момент инерции относительно начала координат равен I ρ . Как было установлено ранее, I x + I y = I ρ . Если оси координат поворачивать в своей плоскости вокруг начала координат, то полярный момент инерции останется неизменным, а осевые моменты будут изменяться, при этом их сумма останется величиной постоянной. Поскольку сумма переменных величин постоянна, то одна из них уменьшается, а другая увеличивается, и наоборот. Оси, относительно которых моменты инерции имеют минимальное и максимальное значения, называют главными осями инерции. Если главная ось проходит через центр тяжести фигуры, она называется главной центральной осью, а момент инерции относительно такой оси - главным центральным моментом инерции. Центробежный момент инерции Центробежным моментом инерции плоской фигуры называют взятую по всей площади сумму произведений элементарных площадок на расстояние до двух взаимно перпендикулярных осей: I xy = Σ xy dA , где x
, y
- расстояния от площадки dA
до осей x
и y
. Центробежный момент инерции входит в формулы для определения положения главных осей несимметричных сечений. i x = √ (I x / A) , i y = √ (I y / A) , (здесь и далее знак "√" - знак корня) где I x , I y
- осевые моменты инерции сечения относительно центральных осей; А
- площадь сечения. Деформация кручения Основные понятия о кручении. Кручение круглого бруса. Кручением называют такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только крутящий момент
, т. е. силовой фактор, вызывающий круговое перемещение сечения относительно оси, перпендикулярной этому сечению, либо препятствующий такому перемещению. Другими словами - деформации кручения возникают, если к прямому брусу в плоскостях, перпендикулярных его оси приложить пару или пары сил. В машинах и механизмах кручению наиболее часто подвергаются круглые или трубчатые валы, поэтому расчеты на прочность и жесткость чаще всего производят для таких узлов и деталей. Рассмотрим кручение круглого цилиндрического вала. Из этого можно заключить, что при кручении круглого цилиндрического бруса (вала) справедлива гипотеза плоских сечений, а также предположить, что радиусы окружностей остаются при деформации прямыми (поскольку их диаметры не изменились). А поскольку в сечениях вала отсутствуют продольные силы, то расстояние между ними сохраняется. Следовательно, деформация кручения круглого вала заключается в повороте поперечных сечений относительно друг друга вокруг оси кручения, причем углы поворота их прямо пропорциональны расстояниям от закрепленного сечения - чем дальше от закрепленного конца вала находится какое-либо сечение, тем на больший угол относительно оси вала оно закручивается. Угол (рис. 1
) поворота свободного конца вала (концевого сечения) называется полным углом закручивания цилиндрического бруса (вала). Если мы рассмотрим тонкий слой на поверхности вышеупомянутого резинового цилиндрического бруса (рис. 1 ), ограниченный ячейкой сетки cdef , то заметим, что эта ячейка при деформации перекашивается, и ее сторона, удаленная от закрепленного сечения, смещается в сторону закручивания бруса, занимая положение cde 1 f 1 . Следует отметить, что аналогичная картина наблюдается при деформации сдвига, только в этом случае поверхность деформируется из-за поступательного перемещения сечений друг относительно друга, а не из-за вращательного перемещения, как при деформации кручения. На основании этого можно сделать вывод, что при кручении в поперечных сечениях возникают только касательные внутренние силы (напряжения), образующие крутящий момент. Итак, крутящий момент есть результирующий момент относительно оси бруса внутренних касательных сил, действующих в поперечном сечении. Дано: моменты инерции фигуры относительно осей z, y; расстояния между этими и параллельными осями z 1 , y 1 – a, b. Определить: моменты инерции относительно осей z 1 , y 1 (рис.4.7). Координаты любой точки в новой системе z 1 Oy 1 можно выразить через координаты в старой системе так: z 1 = z + b, y 1 = y + a. Подставляем эти значения в формулы (4.6) и (4.8) и интегрируем почленно: В соответствии с формулами (4.1) и (4.6) получим , , (4.13) Если исходные данные оси zCy – центральные, то статические моменты S z и S y равны нулю и формулы (4.13) упрощаются: , , (4.14) . Пример: определить осевой момент инерции прямоугольника относительно оси z 1 , проходящей через основание (рис.4.6,а). По формуле (4.14) 4.4. Зависимость между моментами инерции при повороте осейДано: моменты инерции произвольной фигуры относительно координатных осей z, y; угол поворота этих осей α (рис.4.8). Считаем угол поворота против часовой стрелки положительным. Определить: моменты инерции фигуры относительно z 1 , y 1 . Координаты произвольной элементарной площадки dF в новых осях выражаются через координаты прежней системы осей следующим образом: z 1 = OB = OE + EB = OE + DC = zcos α + ysin α, y 1 = AB = AC – BC = AC – ED = ycos α – zsin α. Подставим эти значения в (4.6) и (4.8) и проинтегрируем почленно: , , Учитывая формулы (4.6) и (4.8), окончательно находим: . (4.16) Складывая формулы (4.15), получим: (4.17) Таким образом, при повороте осей сумма осевых моментов инерции остаётся постоянной . При этом каждый из них меняется в соответствии с формулами (4.15). Ясно, что при каком-то положении осей моменты инерции будут иметь экстремальные значения: один из них будет наибольшим, другой – наименьшим. 4.5. Главные оси и главные моменты инерцииНаибольшее практическое значение имеют главные центральные оси, центробежный момент инерции относительно которых равен нулю. Будем обозначать такие оси буквами u, υ. Следовательно, J uυ = 0. Начальную произвольную систему координат z, y надо повернуть на такой угол α 0 , чтобы центробежный момент инерции стал равным нулю. Приравняв нулю (4.16), получим . (4.18) Оказывается, что теория моментов инерции и теория плоского напряжённого состояния описываются одним и тем же математическим аппаратом, так как формулы (4.15) – (4.18) идентичны формулам (3.10), (3.11) и (3.18). Только вместо нормальных напряжений σ записываются осевые моменты инерции J z и J y , а вместо касательных напряжений τ zy – центробежный момент инерции J zy . Поэтому формулы для главных осевых моментов инерции приводим без вывода, по аналогии с формулами (3.18): .(4.19) Полученные из (4.18) два значения угла α 0 отличаются друг от друга на 90 0 , меньший из этих углов по абсолютной величине не превышает 45 0 . Радиус инерции и момент сопротивления Момент инерции фигуры относительно какой-либо оси можно представить в виде произведения площади фигуры на квадрат некоторой величины, называемой радиусом инерции : , (4.20) где i z – радиус инерции относительно оси z. Из выражения (4.20) следует, что , Главным центральным осям инерции соответствуют главные радиусы инерции , Зная главные радиусы инерции, можно графическим способом найти радиус инерции (а, следовательно, и момент инерции) относительно произвольной оси. Рассмотрим еще одну геометрическую характеристику, характеризующую прочность стержня при кручении и изгибе – момент сопротивления . Момент сопротивления равен моменту инерции, делённому на расстояние от оси (или от полюса) до наиболее удалённой точки сечения. Размерность момента сопротивления – единица длины в кубе (см 3). Для
прямоугольника (рис.4.6,а)
, Для
круга
. (4.24) Для
круга
. (4.25) Пусть z с , у с – центральные оси сечений, – моменты инерции сечения относительно этих осей. Определим моменты инерции сечения относительно новых осей z 1 , у 1 , параллельных центральным осям и смещенных относительно них на расстояния a и d . Пусть dA – элементарная площадка в окрестности точки М с координатами y и z в центральной системе координат. Из рис. 4.3 видно, что координаты точки С в новой системе координат будут равны, . Определим момент инерции сечения относительно оси у 1 :
Таким образом, Аналогично Изменение моментов инерции сечения при повороте осей Найдем зависимость между моментами инерции относительно осей y , z и моментами инерции относительно осей y 1 , z 1 , повернутых на угол a . Пусть J y > J z и положительный угол a отсчитывается от оси y против часовой стрелки. Пусть координаты точки М до поворота – y , z , после поворота – y 1 , z 1 (рис. 4.4). Из рисунка следует: Теперь определим моменты инерции относительно осей y 1 и z 1 :
Аналогично: Сложив почленно уравнения (4.13) и (4.14), получим: т.е. сумма моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей остается постоянной и не изменяется при повороте системы координат. Главные оси инерции и главные моменты инерции С изменением угла поворота осей a каждая из величин и меняется, а сумма их остается неизменной. Следовательно, существует такое значение a = a 0 , при котором моменты инерции достигают экстремальных значений, т.е. один из них достигает своего максимального значения, а другой – минимального. Для нахождения значения a 0 возьмем первую производную от (или) и приравняем ее нулю: Покажем, что относительно полученных осей центробежный момент инерции равен нулю. Для этого приравняем правую часть уравнения (4.15) нулю: , откуда, т.е. получили ту же формулу для a 0 . Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты инерции принимают экстремальные значения, называются главными осями. Если эти оси являются также и центральными, то они называются главными центральными осями. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции. Обозначим главные оси через y 0 и z 0 . Тогда Если сечение имеет ось симметрии, то эта ось всегда является одной из главных центральных осей инерции сечения. Если оси являются центральными, то оси моментов будут иметь вид: 15.Зависимость между моментами инерции при повороте осей : J x 1 =J x cos 2 a + J y sin 2 a - J xy sin2a; J y 1 =J y cos 2 a + J x sin 2 a + J xy sin2a; J x 1 y1 = (J x - J y)sin2a + J xy cos2a ; Угол a>0, если переход от старой системы координат к новой происходит против час.стр. J y 1 + J x 1 = J y + J x Экстремальные (максимальное и минимальное) значения моментов инерции называются главными моментами инерции . Оси, относительно которых осевые моменты инерции имеют экстремальные значения, называются главными осями инерции . Главные оси инерции взаимно перпендикулярны. Центробежные моменты инерции относительно главных осей = 0, т.е. главные оси инерции - оси, относительно которых центробежный момент инерции = 0. Если одна из осей совпадает или обе совпадают с осью симметрии, то они главные. Угол, определяющий положение главных осей: , если a 0 >0 Þ оси поворачиваются против час.стр. Ось максимума всегда составляет меньший угол с той из осей, относительно которой момент инерции имеет большее значение. Главные оси, проходящие через центр тяжести, называются главными центральными осями инерции . Моменты инерции относительно этих осей: J max + J min = J x + J y . Центробежный момент инерции относительно главных центральных осей инерции равен 0. Если известны главные моменты инерции, то формулы перехода к повернутым осям: J x 1 =J max cos 2 a + J min sin 2 a; J y 1 =J max cos 2 a + J min sin 2 a; J x 1 y1 = (J max - J min)sin2a; Конечной целью вычисления геометрических характеристик сечения является определение главных центральных моментов инерции и положения главных центральных осей инерции. Радиус инерции - ; J x =F×i x 2 , J y =F×i y 2 . Если J x и J y главные моменты инерции, то i x и i y - главные радиусы инерции . Эллипс, построенный на главных радиусах инерции как на полуосях, называется эллипсом инерции . При помощи эллипса инерции можно графически найти радиус инерции i x 1 для любой оси х 1 . Для этого надо провести касательную к эллипсу, параллельную оси х 1 , и измерить расстояние от этой оси до касательной. Зная радиус инерции, можно найти момент инерции сечения относительно оси х 1: . Для сечений, имеющих более двух осей симметрии (например: круг, квадрат, кольцо и др.) осевые моменты инерции относительно всех центральных осей равны между собой, J xy =0, эллипс инерции обращается в круг инерции. Определим зависимость между различными моментами инерции сечения относительно двух параллельных осей (рис. 6.7), связанных зависимостями
1. Для статических моментов инерции Окончательно, 2. Для осевых моментов инерции следовательно, Если ось z проходит через центр тяжести сечения, то Из всех моментов инерции относительно параллельных осей осевой момент инерции имеет наименьшее значение относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения. Аналогично для оси Когда осьy проходит через центр тяжести сечения 3. Для центробежных моментов инерции получим Окончательно можно записать В случае, когда начало системы координат yz находится в центре тяжести сечения, получим В случае, когда одна или обе оси являются осями симметрии, 6.7. Изменение моментов инерции при повороте осейПусть заданы моменты инерции сечения относительно координатных осей zy . Требуется определить моменты инерции того же сечения относительно осей, повернутых на некоторый уголпо отношению к системе координатzy (рис. 6.8). Уголсчитается положительным, если старую систему координат для перехода к новой нужно повернуть против часовой стрелки (для правой декартовой прямоугольной системы координат). Новаяи стараяzy системы координат связаны зависимостями, которые следуют из рис. 6.8: 1. Определим выражения для осевых моментов инерции относительно осей новой системы координат: Аналогично относительно оси Если сложить величины моментов инерции относительно осей и, то получим т. е. при повороте осей сумма осевых моментов инерции является величиной постоянной. 2. Выведем формулы для центробежных моментов инерции. . 6.8. Главные моменты инерции. Главные оси инерцииЭкстремальные значения осевых моментов инерции сечения называются главными моментами инерции. Две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых осевые моменты инерции имеют экстремальные значения, называются главными осями инерции. Для нахождения главных моментов инерции и положения главных осей инерции определим первую производную по углу от момента инерции, определенного по формуле (6.27) Приравняем этот результат нулю: где - угол, на который нужно повернуть координатные осиy иz , чтобы они совпали с главными осями. Сравнивая выражения (6.30) и (6.31), можно установить, что , Следовательно, относительно главных осей инерции центробежный момент инерции равен нулю. Взаимно перпендикулярные оси, из которых одна или обе совпадают с осями симметрии сечения, всегда являются главными осями инерции. Решим уравнение (6.31) относительно угла : . Если >0, то для определения положения одной из главных осей инерции для правой (левой) декартовой прямоугольной системы координат необходимо осьz повернуть на уголпротив хода вращения (по ходу вращения) часовой стрелки. Если<0, то для определения положения одной из главных осей инерции для правой (левой) декартовой прямоугольной системы координат необходимо осьz повернуть на уголпо ходу вращения (против хода вращения) часовой стрелки. Ось максимум всегда составляет меньший угол с той из осей (y илиz ), относительно которой осевой момент инерции имеет большее значение (рис. 6.9). Ось максимум направлена под углом к оси(), если() и расположена в четных (нечетных) четвертях осей, если().
Определим главные моменты инерции и. Используя формулы из тригонометрии, связывающие функции,,,с функциями,,из формулы (6.27) получим , |
Популярное:
Эксперименты над людьми блок 731 |
Новое
- Прилагательные в английском языке Многосложные прилагательные в английском языке примеры построения
- Викинги – люди саги. Жизнь и нравы. Викинги. Ирландская сага Скандинавские саги читать онлайн
- Святополк I (князь Великой Моравии) Святой ростислав князь моравский
- Михаил Ланцов Смерть Британии!
- Том Сойер - обычный ребенок из благополучной семьи
- Алексей Кириллович Разумовский
- Методическое пособие по истории древнего мира (Годер Г
- Критерий согласия Пирсона (критерий хи-квадрат)
- Этапы процесса моделирования
- Правление Николая I презентация к уроку по истории (10 класс) на тему