Разделы сайта
Выбор редакции:
- Скачать адаптированные книги на английском Адаптированное чтение на английском языке
- Дипломированный специалист или бакалавр?
- Как читается буква y в немецком языке
- Ток-шоу "экология жилища и здоровье человека"
- Состав и строение земной коры Горные породы по группам
- Характеристика планет земной группы
- Прилагательные в английском языке Многосложные прилагательные в английском языке примеры построения
- Викинги – люди саги. Жизнь и нравы. Викинги. Ирландская сага Скандинавские саги читать онлайн
- Святополк I (князь Великой Моравии) Святой ростислав князь моравский
- Михаил Ланцов Смерть Британии!
Реклама
Сегодня мы отправляемся в страну Геометрия, где познакомимся с различными видами треугольников. Рассмотрите геометрические фигуры и найдите среди них «лишнюю» (рис. 1). Рис. 1. Иллюстрация к примеру Мы видим, что фигуры № 1, 2, 3, 5 - четырехугольники. Каждая из них имеет свое название (рис. 2). Рис. 2. Четырехугольники Значит, «лишней» фигурой является треугольник (рис. 3). Рис. 3. Иллюстрация к примеру Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника , отрезки - его сторонами . Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла. Основными признаками треугольника являются три стороны и три угла. По величине угла треугольники бывают остроугольные, прямоугольные и тупоугольные.
Рис. 4. Остроугольный треугольник
Рис. 5. Прямоугольный треугольник
Рис. 6. Тупоугольный треугольник По числу равных сторон треугольники бывают равносторонние, равнобедренные, разносторонние.
Рис. 7. Равнобедренный треугольник Эти стороны называются боковыми , третья сторона - основанием . В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Равнобедренные треугольники бывают остроугольными и тупоугольными (рис. 8). Рис. 8. Остроугольный и тупоугольный равнобедренные треугольники
Рис. 9. Равносторонний треугольник В равностороннем треугольнике все углы равны . Равносторонние треугольники всегда остроугольные.
Рис. 10. Разносторонний треугольник Выполните задание. Распределите данные треугольники на три группы (рис. 11). Рис. 11. Иллюстрация к заданию Сначала распределим по величине углов. Остроугольные треугольники: № 1, № 3. Прямоугольные треугольники: № 2, № 6. Тупоугольные треугольники: № 4, № 5. Эти же треугольники распределим на группы по числу равных сторон. Разносторонние треугольники: № 4, № 6. Равнобедренные треугольники: № 2, № 3, № 5. Равносторонний треугольник: № 1. Рассмотрите рисунки. Подумайте, из какого куска проволоки сделали каждый треугольник (рис. 12). Рис. 12. Иллюстрация к заданию Можно рассуждать так. Первый кусок проволоки разделен на три равные части, поэтому из него можно сделать равносторонний треугольник. На рисунке он изображен третьим. Второй кусок проволоки разделен на три разные части, поэтому из него можно сделать разносторонний треугольник. На рисунке он изображен первым. Третий кусок проволоки разделен на три части, где две части имеют одинаковую длину, значит, из него можно сделать равнобедренный треугольник. На рисунке он изображен вторым. Сегодня на уроке мы познакомились с различными видами треугольников. Список литературы
Домашнее задание 1. Закончите фразы. а) Треугольником называется фигура, которая состоит из …, не лежащих на одной прямой, и …, попарно соединяющих эти точки. б) Точки называются … , отрезки - его … . Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника …. в) По величине угла треугольники бывают … , … , … . г) По числу равных сторон треугольники бывают … , … , … . 2. Начертите а) прямоугольный треугольник; б) остроугольный треугольник; в) тупоугольный треугольник; г) равносторонний треугольник; д) разносторонний треугольник; е) равнобедренный треугольник. 3. Составьте задание по теме урока для своих товарищей. Пожалуй, самой основной, простой и интересной фигурой в геометрии является треугольник. В курсе средней школы изучаются его основные свойства, однако иногда знания по этой теме формируются неполными. Виды треугольников изначально определяют их свойства. Но подобное представление остается смешанным. Поэтому сейчас разберем немного подробнее эту тему. Виды треугольников зависят от градусной меры углов. Эти фигуры бывают остро-, прямо- и тупоугольными. Если все углы не превышают значения в 90 градусов, то фигуру смело можно назвать остроугольной. Если хотя бы один угол треугольника равен 90 градусам, то вы имеете дело с прямоугольным подвидом. Соответственно, во всех остальных случаях рассматриваемую называют тупоугольной. Существует множество задач для остроугольных подвидов. Отличительной чертой является внутреннее местонахождение точек пересечения биссектрис, медиан и высот. В других случаях это условие может не выполняться. Определить тип фигуры “треугольник” нетрудно. Достаточно знать, например, косинус каждого угла. Если какие-нибудь значения меньше нуля, значит, треугольник в любом случае является тупоугольным. В случае нулевого показателя фигура обладает прямым углом. Все положительные значения гарантированно подскажут вам о том, что перед вами остроугольный вид. Нельзя не сказать о правильном треугольнике. Это самый идеальный вид, где совпадают все точки пересечения медиан, биссектрис и высот. Центр вписанной и описанной окружности лежит также в одном месте. Для решения задач необходимо знать только одну сторону, так как вам углы изначально заданы, а две другие стороны известной. То есть фигура задается только одним параметром. Существуют Их главная особенность - равенство двух сторон и углов при основании. Иногда встречается вопрос о том, существует ли треугольник с заданными сторонами. На самом деле вас спрашивают, подходит ли данное описание под основные виды. Например, если сумма двух сторон меньше третьей, то в реальности такой фигуры не существует вообще. Если в задании просят найти косинусы углов треугольника со сторонами 3,5,9, то здесь очевидный можно объяснить без сложных математических приемов. Предположим, вы хотите из пункта A попасть в пункт B. Расстояние по прямой равно 9 километрам. Однако вы вспомнили, что необходимо зайти в пункт C в магазин. Расстояние от А до С равно 3 километрам, а от С до В - 5. Таким образом получается, что, двигаясь через магазин, вы пройдете на один километр меньше. Но так как пункт C не расположен на прямой AB, то вам придется пройти лишнее расстояние. Здесь возникает противоречие. Это, конечно, условное объяснение. Математика знает не один способ доказательства того, что все виды треугольников подчиняются основному тождеству. Оно гласит о том, что сумма двух сторон больше длины третьей. Любой вид обладает следующими свойствами: 1) Сумма всех углов равняется 180 градусам. 2) Всегда существует ортоцентр - точка пересечения всех трех высот. 3) Все три медианы, проведенные из вершин внутренних углов, пересекаются в одном месте. 4) Вокруг любого треугольника можно описать окружность. Также можно вписать круг так, чтобы он имел только три точки соприкосновения и не выходил за внешние стороны. Теперь вы познакомились с основными свойствами, которыми обладают различные виды треугольников. В будущем важно понимать, с чем вы имеете дело при решении задачи. Самый простой многоугольник, который изучается в школе — это треугольник. Он более понятен для учащихся и встречает меньше трудностей. Несмотря на то что существуют различные виды треугольников, у которых имеются особенные свойства. Какая фигура называется треугольником?Образованная тремя точками и отрезками. Первые называются вершинами, вторые — сторонами. Причем все три отрезка должны быть соединены, чтобы между ними образовывались углы. Отсюда и название фигуры «треугольник». Различия в названиях по угламПоскольку они могут быть острыми, тупыми и прямыми, то и виды треугольников определяются по этим названиям. Соответственно, групп таких фигур три.
Различия в названиях по сторонамВ зависимости от особенностей сторон выделяют такие виды треугольников: общий случай — разносторонний, в котором все стороны имеют произвольную длину; равнобедренный, у двух сторон которого имеются одинаковые числовые значения; равносторонний, длины всех его сторон одинаковые. Если в задаче не указан конкретный вид треугольника, то нужно чертить произвольный. У которого все углы острые, а стороны имеют разную длину. Свойства, общие для всех треугольников
Эти свойства справедливы всегда, какие бы виды треугольников ни рассматривались в задачах. Все остальные вытекают из конкретных особенностей. Свойства равнобедренного треугольника
Свойства равностороннего треугольникаЕсли имеется такая фигура, то будут верны все свойства, описанные немного выше. Потому что равносторонний всегда будет равнобедренным. Но не наоборот, равнобедренный треугольник не обязательно будет равносторонним.
Свойства прямоугольного треугольника
Задачи с разными видами треугольников№1. Дан равнобедренный треугольник. Его периметр известен и равен 90 см. Требуется узнать его стороны. В качестве дополнительного условия: боковая сторона меньше основания в 1,2 раза. Значение периметра напрямую зависит от тех величин, которые нужно найти. Сумма всех трех сторон и даст 90 см. Теперь нужно вспомнить признак треугольника, по которому он является равнобедренным. То есть две стороны равны. Можно составить уравнение с двумя неизвестными: 2а + в = 90. Здесь а — боковая сторона, в — основание. Настала очередь дополнительного условия. Следуя ему, получается второе уравнение: в = 1,2а. Можно выполнить подстановку этого выражения в первое. Получится: 2а + 1,2а = 90. После преобразований: 3,2а = 90. Отсюда а = 28,125 (см). Теперь несложно узнать основание. Лучше всего это сделать из второго условия: в = 1,2 * 28,125 = 33,75 (см). Для проверки можно сложить три значения: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (см). Все верно. Ответ: стороны треугольника равны 28,125 см, 28,125 см, 33,75 см. №2. Сторона равностороннего треугольника равна 12 см. Нужно вычислить его высоту. Решение. Для поиска ответа достаточно вернуться к тому моменту, где были описаны свойства треугольника. Так указана формула для нахождения высоты, медианы и биссектрисы равностороннего треугольника. н = а * √3 / 2, где н — высота, а — сторона. Подстановка и вычисление дают такой результат: н = 6 √3 (см). Эту формулу необязательно запоминать. Достаточно вспомнить, что высота делит треугольник на два прямоугольных. Причем она оказывается катетом, а гипотенуза в нем — это сторона исходного, второй катет — половина известной стороны. Теперь нужно записать теорему Пифагора и вывести формулу для высоты. Ответ: высота равна 6 √3 см. №3. Дан МКР — треугольник, 90 градусов в котором составляет угол К. Известны стороны МР и КР, они равны соответственно 30 и 15 см. Нужно узнать значение угла Р. Решение. Если сделать чертеж, то становится ясно, что МР — гипотенуза. Причем она в два раза больше катета КР. Снова нужно обратиться к свойствам. Одно из них как раз связано с углами. Из него понятно, что угол КМР равен 30º. Значит искомый угол Р будет равен 60º. Это следует из другого свойства, которое утверждает, что сумма двух острых углов должна равняться 90º. Ответ: угол Р равен 60º. №4. Нужно найти все углы равнобедренного треугольника. Про него известно, что внешний угол от угла при основании равен 110º. Решение. Поскольку дан только внешний угол, то этим и нужно воспользоваться. Он образует с внутренним углом развернутый. Значит в сумме они дадут 180º. То есть угол при основании треугольника будет равен 70º. Так как он равнобедренный, то второй угол имеет такое же значение. Осталось вычислить третий угол. По свойству, общему для всех треугольников, сумма углов равна 180º. Значит, третий определится как 180º - 70º - 70º = 40º. Ответ: углы равны 70º, 70º, 40º. №5. Известно, что в равнобедренном треугольнике угол, лежащий напротив основания, равен 90º. На основании отмечена точка. Отрезок, соединяющий ее с прямым углом, делит его в отношении 1 к 4. Нужно узнать все углы меньшего треугольника. Решение. Один из углов можно определить сразу. Поскольку треугольник прямоугольный и равнобедренный, то те, что лежат у его основания, будут по 45º, то есть по 90º/2. Второй из них поможет найти известное в условии отношение. Поскольку оно равно 1 к 4, то частей, на которые он делится получается всего 5. Значит, чтобы узнать меньший угол треугольника нужно 90º/5 = 18º. Осталось узнать третий. Для этого из 180º (суммы всех углов треугольника) нужно вычесть 45º и 18º. Вычисления несложные, и получится: 117º. Стандартные обозначения Треугольник с вершинами A , B и C обозначается как (см. рис.). Треугольник имеет три стороны: Длины сторон треугольника обозначаются строчными латинскими буквами (a, b, c): Треугольник имеет следующие углы: Величины углов при соответствующих вершинах традиционно обозначаются греческими буквами (α, β, γ). Признаки равенства треугольниковТреугольник на евклидовой плоскости однозначно (с точностью до конгруэнтности) можно определить по следующим тройкам основных элементов:
Признаки равенства прямоугольных треугольников:
Некоторые точки в треугольнике - «парные». Например, существует две точки, из которых все стороны видны либо под углом в 60°, либо под углом в 120°. Они называются точками Торричелли . Также существует две точки, проекции которых на стороны лежат в вершинах правильного треугольника. Это - точки Аполлония . Точки и такие, что и называются точками Брокара . ПрямыеВ любом треугольнике центр тяжести, ортоцентр и центр описанной окружности лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера . Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку Лемуана, называется осью Брокара . На ней лежат точки Аполлония. Также на одной прямой лежат точки Торричелли и точка Лемуана. Основания внешних биссектрис углов треугольника лежат на одной прямой, называемой осью внешних биссектрис . На одной прямой лежат также точки пересечения прямых, содержащих стороны ортотреугольника, с прямыми, содержащими стороны треугольника. Эта прямая называется ортоцентрической осью , она перпендикулярна прямой Эйлера. Если на описанной окружности треугольника взять точку, то её проекции на стороны треугольника будут лежать на одной прямой, называемой прямой Симсона данной точки. Прямые Симсона диаметрально противоположных точек перпендикулярны. Треугольники
Окружности
Середины трёх сторон треугольника, основания трёх его высот и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек или окружностью Эйлера . Центр окружности девяти точек лежит на прямой Эйлера. Окружность девяти точек касается вписанной окружности и трёх вневписанных. Точка касания вписанной окружности и окружности девяти точек называется точкой Фейербаха . Если от каждой вершины отложить наружу треугольника на прямых, содержащих стороны, ортезки, равные по длине противоположным сторонам, то получившиеся шесть точек лежат на одной окружности - окружности Конвея . В любой треугольник можно вписать три окружности таким образом, что каждая из них касается двух сторон треугольника и двух других окружностей. Такие окружности называются окружностями Мальфатти . Центры описанных окружностей шести треугольников, на которые треугольник разбивается медианами, лежат на одной окружности, которая называется окружностью Ламуна . В треугольнике есть три окружности, которые касаются двух сторон треугольника и описанной окружности. Такие окружности называют полувписанными или окружностями Веррьера . Отрезки, соединяющие точки касания окружностей Веррьера с описанной окружностью, пересекаются в одной точке, называемой точкой Веррьера . Она служит центром гомотетии , которая переводит описанную окружность во вписанную. Точки касания окружностей Веррьера со сторонами лежат на прямой, которая проходит через центр вписанной окружности. Отрезки, соединяющие точки касания вписанной окружности с вершинами, пересекаются в одной точке, называемой точкой Жергонна , а отрезки, соединяющие вершины с точками касания вневписанных окружностей - в точке Нагеля . Эллипсы, параболы и гиперболыВписанная коника (эллипс) и её перспектор В треугольник можно вписать бесконечно много коник (эллипсов , парабол или гипербол). Если в треугольник вписать произвольную конику и соединить точки касания с противоположными вершинами, то получившиеся прямые пересекутся в одной точке, называемой перспектором коники. Для любой точки плоскости, не лежащей на стороне или на её продолжении существует вписанная коника с перспектором в этой точке. Описанный эллипс Штейнера и чевианы, проходящие через его фокусы В треугольник можно вписать эллипс, который касается сторон в серединах. Такой эллипс называется вписанным эллипсом Штейнера (его перспектором будет центроид треугольника). Описанный эллипс, который касается прямых, проходящих через вершины параллельно сторонам, называется описанным эллипсом Штейнера . Если аффинным преобразованием («перекосом») перевести треугольник в правильный, то его вписанный и описанный эллипс Штейнера перейдут во вписанную и описанную окружности. Чевианы, проведённые через фокусы описанного эллипса Штейнера (точки Скутина), равны (теорема Скутина). Изо всех описанных эллипсов описанный эллипс Штейнера имеет наименьшую площадь, а изо всех вписанных наибольшую площадь имеет вписанный эллипс Штейнера. Эллипс Брокара и его перспектор - точка Лемуана Эллипс с фокусами в точках Брокара называется эллипсом Брокара . Его перспектором служит точка Лемуана. Свойства вписанной параболы Парабола Киперта Перспекторы вписанных парабол лежат на описанном эллипсе Штейнера. Фокус вписанной параболы лежит на описанной окружности, а директриса проходит через ортоцентр. Парабола, вписанная в треугольник, имеющая директрисой прямую Эйлера, называется параболой Киперта . Её перспектор - четвёртая точка пересечения описанной окружности и описанного эллипса Штейнера, называемая точкой Штейнера . Гипербола Киперта Если описанная гипербола проходит через точку пересечения высот, то она равносторонняя (то есть её асимптоты перпендикулярны). Точка пересечения асимптот равносторонней гиперболы лежит на окружности девяти точек. ПреобразованияЕсли прямые, проходящие через вершины и некоторую точку, не лежащую на сторонах и их продолжениях, отразить относительно соответствующих биссектрис, то их образы также пересекутся в одной точке, которая называется изогонально сопряжённой исходной (если точка лежала на описанной окружности, то получившиеся прямые будут параллельны). Изогонально сопряжёнными являются многие пары замечательных точек : центр описанной окружности и ортоцентр, центроид и точка Лемуана, точки Брокара. Точки Аполлония изогонально сопряжены точкам Торричелли, а центр вписанной окружности изогонально сопряжён сам себе. Под действием изогонального сопряжения прямые переходят в описанные коники, а описанные коники - в прямые. Так, изогонально сопряжены гипербола Киперта и ось Брокара, гипербола Енжабека и прямая Эйлера, гипербола Фейербаха и линия центров вписанной о описанной окружностей. Описанные окружности подерных треугольников изогонально сопряжённых точек совпадают. Фокусы вписанных эллипсов изогонально сопряжены. Если вместо симметричной чевианы брать чевиану, основание которой удалено от середины стороны так же, как и основание исходной, то такие чевианы также пересекутся в одной точке. Получившееся преобразование называется изотомическим сопряжением . Оно также переводит прямые в описанные коники. Изотомически сопряжены точки Жергонна и Нагеля. При аффинных преобразованиях изотомически сопряжённые точки переходят в изотомически сопряжённые. При изотомическом сопряжении в бесконечно удалённую прямую перейдёт описанный эллипс Штейнера. Если в сегменты, отсекаемые сторонами треугольника от описанного круга, вписать окружности, касающиеся сторон в основаниях чевиан, проведённых через некоторую точку, а затем соединить точки касания этих окружностей с описанной окружностью с противоположными вершинами, то такие прямые пересекутся в одной точке. Преобразование плоскости, сопоставляющее исходной точке получившуюся, называется изоциркулярным преобразованием . Композиция изогонального и изотомического сопряжений является композицией изоциркулярного преобразования с самим собой. Эта композиция - проективное преобразование , которое стороны треугольника оставляет на месте, а ось внешних биссектрис переводит в бесконечно удалённую прямую. Если продолжить стороны чевианного треугольника некоторой точки и взять их точки пересечения с соответствующими сторонами, то полученные точки пересечения будут лежать на одной прямой, называемой трилинейной полярой исходной точки. Ортоцентрическая ось - трилинейная поляра ортоцентра; трилинейной полярой центра вписанной окружности служит ось внешних биссектрис. Трилинейные поляры точек, лежищих на описанной конике, пересекаются в одной точке (для описанной окружности это точка Лемуана, для описанного эллипса Штейнера - центроид). Композиция изогонального (или изотомического) сопряжения и трилинейной поляры является преобразованием двойственности (если точка, изогонально (изотомически) сопряжённая точке , лежит на трилинейной поляре точки , то трилинейная поляра точки, изогонально (изотомически) сопряжённой точке лежит на трилинейной поляре точки ). КубикиСоотношения в треугольникеПримечание: в данном разделе , , - это длины трёх сторон треугольника, и , , - это углы, лежащие соответственно напротив этих трёх сторон (противолежащие углы). Неравенство треугольникаВ невырожденном треугольнике сумма длин двух его сторон больше длины третьей стороны, в вырожденном - равна. Иначе говоря, длины сторон треугольника связаны следующими неравенствами: Неравенство треугольника является одной из аксиом метрики . Теорема о сумме углов треугольникаТеорема синусов,где R - радиус окружности, описанной вокруг треугольника. Из теоремы следует, что если a < b < c, то α < β < γ. Теорема косинусовТеорема тангенсовПрочие соотношенияМетрические соотношения в треугольнике приведены для : Решение треугольниковВычисление неизвестных сторон и углов треугольника, исходя из известных, исторически получило название «решения треугольников» . При этом используются приведенные выше общие тригонометрические теоремы. Площадь треугольникаЧастные случаи ОбозначенияДля площади справедливы неравенства: Вычисление площади треугольника в пространстве с помощью векторовПусть вершины треугольника находятся в точках , , . Введём вектор площади . Длина этого вектора равна площади треугольника, а направлен он по нормали к плоскости треугольника: Положим , где , , - проекции треугольника на координатные плоскости. При этом и аналогично Площадь треугольника равна . Альтернативой служит вычисление длин сторон (по теореме Пифагора) и далее по формуле Герона . Теоремы о треугольниках
Некоторый треугольник , в котором все стороны не одинаковой длины, принято называть разносторонними . Треугольник, с двумя одинаковыми сторонами обозначают как равнобедренный . Одинаковые стороны принято именовать боковыми , третью сторону - основанием. В равной мере будет верным и такое определение основания треугольника - это сторона равнобедренного треугольника, которая не равна двум другим сторонам. В равнобедренном треугольнике углы при основании равновелики. Высота , медиана , биссектриса равнобедренного треугольника, прочерченные к его основанию, совмещаются. Треугольник , со всеми одинаковыми сторонами, обозначают как равносторонние или правильные . В равностороннем треугольнике все углы по 60°, а центры вписанной и описанной окружности совмещены. Типы треугольников в зависимости от параметров углов.Треугольник , в котором только углы меньше 90 0 (острые), именуют остроугольным . Треугольник, в котором представлен угол 90 0 , именуют прямоугольным . Стороны треугольника, формирующие прямой угол, принято обозначать катетами , а сторона расположенная напротив прямого угла - гипотенузой . |
Читайте: |
---|
Популярное:
Новое
- Дипломированный специалист или бакалавр?
- Как читается буква y в немецком языке
- Ток-шоу "экология жилища и здоровье человека"
- Состав и строение земной коры Горные породы по группам
- Характеристика планет земной группы
- Прилагательные в английском языке Многосложные прилагательные в английском языке примеры построения
- Викинги – люди саги. Жизнь и нравы. Викинги. Ирландская сага Скандинавские саги читать онлайн
- Святополк I (князь Великой Моравии) Святой ростислав князь моравский
- Михаил Ланцов Смерть Британии!
- Том Сойер - обычный ребенок из благополучной семьи