Разделы сайта
Выбор редакции:
- Скачать адаптированные книги на английском Адаптированное чтение на английском языке
- Дипломированный специалист или бакалавр?
- Как читается буква y в немецком языке
- Ток-шоу "экология жилища и здоровье человека"
- Состав и строение земной коры Горные породы по группам
- Характеристика планет земной группы
- Прилагательные в английском языке Многосложные прилагательные в английском языке примеры построения
- Викинги – люди саги. Жизнь и нравы. Викинги. Ирландская сага Скандинавские саги читать онлайн
- Святополк I (князь Великой Моравии) Святой ростислав князь моравский
- Михаил Ланцов Смерть Британии!
Реклама
Понятие одночленаОпределение одночлена: одночлен - это алгебраическое выражение, в котором используется только умножение. Стандартный вид одночленаЧто такое стандартный вид одночлена? Одночлен записан в стандартном виде, если в нём на первом месте стоит числовой множитель и этот множитель, его называют коэффициентом одночлена, только один в одночлене, буквы одночлена расположены в алфавитном порядке и каждая буква встречается только один раз. Пример одночлена в стандартном виде: здесь на первом месте число, коэффициент одночлена, и это число только одно в нашем одночлене, каждая буква встречается только один раз и буквы расположены в алфавитном порядке, в данном случае это латинский алфавит. Ещё пример одночлена в стандартном виде: каждая буква встречается лишь однажды, расположены они в латинском алфавитном порядке, но где коэффициент одночлена, т.е. числовой множитель, который должен стоять на первом месте? Он здесь равен единице: 1adm. Коэффициент одночлена может быть отрицательным? Да, может, пример: -5a. Коэффициент одночлена может быть дробным? Да, может, пример: 5,2a. Если одночлен состоит только из числа, т.е. не имеет букв, как привести его к стандартному виду? Любой одночлен, представляющий собой число, уже находится в стандартном виде, пример: число 5 - это одночлен стандартного вида. Приведение одночленов к стандартному видуКак привести одночлен к стандартному виду? Рассмотрим примеры. Пусть дан одночлен 2a4b, нужно привести его к стандартному виду. Перемножаем два его числовых множителя и получаем 8ab. Теперь одночлен записан в стандартном виде, т.е. имеет только один числовой множитель, записанный на первом месте, каждая бува в одночлене встречается только один раз и расположены эти буквы в алфавитном порядке. Итак, 2a4b = 8ab. Дано: одночлен 2a4a, привести одночлен к стандартному виду. Перемножаем числа 2 и 4, произведение aa заменяем второй степенью a 2 . Получаем: 8a 2 . Это стандартный вид данного одночлена. Итак, 2a4a = 8a 2 . Подобные одночленыЧто такое подобные одночлены? Если одночлены различаются только лишь коэффициентами или равны, то они называются подобными. Пример подобных одночленов: 5a и 2a. Эти одночлены различаются только коэффициентами, значит они подобны. Подобны ли одночлены 5abc и 10cba? Приведем к стандартному виду второй одночлен, получим 10abc. Теперь видно, что одночлены 5abc и 10abc отличаются только своими коэффициентами, а это означает, что они подобны. Сложение одночленовЧему равна сумма одночленов? Суммировать мы можем только подобные одночлены. Рассмотрим пример сложения одночленов. Чему равна сумма одночленов 5a и 2a? Суммой этих одночленов будет одночлен, подобный им, коэффициент которого равен сумме коэффициентов слагаемых. Итак, сумма одночленов равна 5a + 2a = 7a. Ещё примеры сложения одночленов: 2a 2 + 3a 2 = 5a 2 Ещё раз. Складывать можно только подобные одночлены, сложение сводится к сложению их коэффициентов. Вычитание одночленовЧему равна разность одночленов? Вычитать мы можем только подобные одночлены. Рассмотрим пример вычитания одночленов. Чему равна разность одночленов 5a и 2a? Разностью этих одночленов будет одночлен, подобный им, коэффициент которого равен разности коэффициентов данных одночленов. Итак, разность одночленов равна 5a - 2a = 3a. Ещё примеры вычитания одночленов: 10a 2 - 3a 2 = 7a 2 Умножение одночленовЧему равно произведение одночленов? Рассмотрим пример: т.е. произведение одночленов равно одночлену, множители которого составлены из множителей исходных одночленов. Ещё пример: 2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 . Как получился такой результат? В каждом сомножителе имеется «а» в степени: в первом - «а» в степени 2, а во втором - «а» в степени 5. Значит в произведении будет «а» в степени 7, ведь при умножении одинаковых букв показатели их степеней складываются: A 2 * a 5 = a 7 . Это же относится и к сомножителю «b». Коэффициент первого сомножителя равен двум, а второго - одному, поэтому получаем в результате 2 * 1 = 2. Вот так посчитался результат 2a 7 b 12 . Из этих примеров видно, что коэффициенты одночленов перемножаются, а одинаковые буквы заменяются суммами их степеней в произведении. Одночлены представляют собой произведения чисел, переменных и их степеней. Числа, переменные и их степени тоже считаются одночленами. Например: 12ac, -33, a^2b, a, c^9. Одночлен 5aa2b2b можно привести в вид 20a^2b^2.Такой вид называется стандартным видом одночлена.То есть, стандартный вид одночлена - это произведение коэффициента (стоящего на первом месте) и степеней переменных. Коэффициенты 1 и -1 не пишут, но от -1 сохраняют минус. Одночлен и его стандартный вид Выражения 5a2x, 2a3(-3)x2, b2x являются произведениями чисел, переменных и их степеней. Такие выражения называются одночленами. Одночленами также считают числа, переменные и их степени. Например, выражения - 8, 35,y и y2 - одночлены. Стандартным видом одночлена называется одночлен в виде произведения числового множителя, стоящего на первом месте, и степеней различных переменных. Любой одночлен можно привести к стандартному виду путем перемножения всех переменных и чисел, входящих в него. Приведем пример приведения одночлена к стандартному виду: 4x2y4(-5)yx3 = 4(-5)x2x3y4y = -20x5y5 Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена. Например коэффициент одночлена -7x2y2 равен -7. Коэффициенты одночленов x3 и -xy считают равными 1 и -1, так как x3 = 1x3 и -xy = -1xy Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных. Если одночлен не содержит переменных, то есть является числом, то его степень считают равной нулю. Например степень одночлена 8x3yz2 равна 6, одночлена 6x равна 1, одночлена -10 равна 0. Умножение одночленов. Возведение одночленов в степень При умножении одночленов и возведении одночленов в степень используется правило умножения степеней с одинаковым основанием и правило возведения степени в степень. При этом получается одночлен, который обычно представляют в стандартном виде. Например 4x3y2(-3)x2y = 4(-3)x3x2y2y = -12x5y3 ((-5)x3y2)3 = (-5)3x3*3y2*3 = -125x9y6 I. Выражения, которые составлены из чисел, переменных и их степеней, при помощи действия умножения называются одночленами. Примеры одночленов: а) a; б) ab; в) 12; г) -3c; д) 2a 2 ∙(-3,5b) 3 ; е) -123,45xy 5 z; ж) 8ac∙2,5a 2 ∙(-3c 3). II. Такой вид одночлена, когда на первом месте стоит числовой множитель (коэффициент), а за ним переменные с их степенями, называют стандартным видом одночлена. Так, одночлены, приведенные выше, под буквами а), б), в), г) и е) записаны в стандартном виде, а одночлены под буквами д) и ж) требуется привести к стандартному виду, т. е. к такому виду, когда на первом месте стоит числовой множитель, а за ним записывают буквенные множители с их показателями, причем, буквенные множители стоят в алфавитном порядке. Приведем одночлены д) и ж) к стандартному виду. д) 2a 2 ∙(-3,5b) 3 =2a 2 ∙(-3,5) 3 ∙b 3 =-2a 2 ∙3,5∙3,5∙3,5∙b 3 =-85,75a 2 b 3 ; ж) 8ac∙2,5a 2 ∙(-3c 3) =-8∙2,5∙3a 3 c 3 =-60a 3 c 3 . III. Сумму показателей степеней всех переменных, входящих в состав одночлена, называют степенью одночлена. Примеры. Какую степень имеют одночлены а) — ж)? а) a. Первую; б) ab. Вторую: а в первой степени и b в первой степени-сумма показателей 1+1=2 ; в) 12. Нулевую, так как буквенных множителей нет; г) -3c. Первую; д) -85,75a 2 b 3 . Пятую. Мы привели этот одночлен к стандартному виду, имеем а во второй степени и b в третьей. Складываем показатели: 2+3=5 ; е) -123,45xy 5 z. Седьмую. Сложили показатели степеней буквенных множителей: 1+5+1=7 ; ж) -60a 3 c 3 . Шестую, так как сумма показателей буквенных множителей 3+3=6 . IV. Одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными одночленами. Пример. Указать подобные одночлены среди данных одночленов 1) -7). 1) 3aabbc; 2) -4,1a 3 bc; 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98,7a 2 bac; 5) 10aaa 2 x; 6) -2,3a 4 x; 7) 34x 2 y. Приведем одночлены 1), 4) и 5) к стандартному виду. Тогда строчка данных одночленов будет выглядеть так: 1) 3a 2 b 2 c; 2) -4,1a 3 bc; 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98,7a 3 bc; 5) 10a 4 x; 6) -2,3a 4 x; 7) 34x 2 y. Подобными будут те, которые имеют одинаковую буквенную часть, т.е. 1) и 3) ; 2) и 4) ; 5) и 6). 1) 3a 2 b 2 c и 3) 56a 2 b 2 c; 2) -4,1a 3 bc и 4) 98,7a 3 bc; 5) 10a 4 x и 6) -2,3a 4 x. Мы отметили, что любой одночлен можно привести к стандартному виду . В этой статье мы разберемся, что называют приведением одночлена к стандартному виду, какие действия позволяют осуществить этот процесс, и рассмотрим решения примеров с подробными пояснениями. Навигация по странице. Что значит привести одночлен к стандартному виду?С одночленами удобно работать, когда они записаны в стандартном виде . Однако достаточно часто одночлены задаются в виде, отличном от стандартного. В этих случаях всегда можно перейти от исходного одночлена к одночлену стандартного вида, выполнив тождественные преобразования . Процесс проведения таких преобразований называют приведением одночлена к стандартному виду. Обобщим приведенные рассуждения. Привести одночлен к стандартному виду – это значит выполнить с ним такие тождественные преобразования, чтобы он принял стандартный вид. Как привести одночлен к стандартному виду?Пришло время разобраться с тем, как приводить одночлены к стандартному виду. Как известно из определения, одночлены нестандартного вида представляют собой произведения чисел, переменных и их степеней, причем, возможно, повторяющихся. А одночлен стандартного вида может содержать в своей записи только одно число и неповторяющиеся переменные или их степени. Теперь осталось понять, как произведения первого вида привести к виду вторых? Для этого нужно воспользоваться следующим правилом приведения одночлена к стандартному виду , состоящим из двух шагов:
В результате применения озвученного правила любой одночлен будет приведен к стандартному виду. Примеры, решенияОсталось научиться применять правило из предыдущего пункта при решении примеров. Пример. Приведите одночлен 3·x·2·x 2 к стандартному виду. Решение. Сгруппируем числовые множители и множители с переменной x . После группировки исходный одночлен примет вид (3·2)·(x·x 2) . Произведение чисел в первых скобках равно 6 , а правило умножения степеней с одинаковыми основаниями позволяет выражение во вторых скобках представить как x 1 +2=x 3 . В итоге получаем многочлен стандартного вида 6·x 3 . Приведем краткую запись решения: 3·x·2·x 2 =(3·2)·(x·x 2)=6·x 3 . Ответ: 3·x·2·x 2 =6·x 3 . Итак, для приведения одночлена к стандартному виду необходимо уметь проводить группировку множителей, выполнять умножение чисел, и работать со степенями. Для закрепления материала решим еще один пример. Пример. Представьте одночлен в стандартном виде и укажите его коэффициент. Решение. Исходный одночлен имеет в своей записи единственный числовой множитель −1 , перенесем его в начало. После этого отдельно сгруппируем множители с переменной a , отдельно – с переменно b , а переменную m группировать не с чем, оставим ее как есть, имеем . После выполнения действий со степенями в скобках одночлен примет нужный нам стандартный вид , откуда виден коэффициент одночлена , равный −1 . Минус единицу можно заменить знаком минус: . Одночлены являются одним из основных видов выражений, изучаемых в рамках школьного курса алгебры. В этом материале мы расскажем, что это за выражения, определим их стандартный вид и покажем примеры, а также разберемся с сопутствующими понятиями, такими как степень одночлена и его коэффициент. Что такое одночленВ школьных учебниках обычно дается следующее определение этого понятия: Определение 1 К одночленам относятся числа, переменные, а также их степени с натуральным показателем и разные виды произведений, составленные из них. Исходя из этого определения, мы можем привести примеры таких выражений. Так, все числа 2 , 8 , 3004 , 0 , - 4 , - 6 , 0 , 78 , 1 4 , - 4 3 7 будут относиться к одночленам. Все переменные, например, x , a , b , p , q , t , y , z тоже будут по определению одночленами. Сюда же можно отнести степени переменных и чисел, например, 6 3 , (− 7 , 41) 7 , x 2 и t 15 , а также выражения вида 65 · x , 9 · (− 7) · x · y 3 · 6 , x · x · y 3 · x · y 2 · z и т.д. Обратите внимание, что в состав одночлена может входить как одно число или переменная, так и несколько, причем они могут быть упомянуты несколько раз в составе одного многочлена. Такие виды чисел, как целые, рациональные, натуральные тоже относятся к одночленам. Также сюда можно включить действительные и комплексные числа. Так, выражения вида 2 + 3 · i · x · z 4 , 2 · x , 2 · π · x 3 тоже будут одночленами. Что такое стандартный вид одночлена и как привести выражение к немуДля удобства работы все одночлены сначала приводят к особому виду, называемому стандартным. Сформулируем конкретно, что же это значит. Определение 2 Стандартным видом одночлена называют такой его вид, в которой он представляет из себя произведение числового множителя и натуральных степеней разных переменных. Числовой множитель, также называемый коэффициентом одночлена, обычно записывают первым с левой стороны. Для наглядности подберем несколько одночленов стандартного вида: 6 (это одночлен без переменных), 4 · a , − 9 · x 2 · y 3 , 2 3 5 · x 7 . Сюда же можно отнести выражение x · y (здесь коэффициент будет равен 1), − x 3 (тут коэффициент равен - 1). Теперь приведем примеры одночленов, которые нужно привести к стандартному виду: 4 · a · a 2 · a 3 (здесь нужно объединить одинаковые переменные), 5 · x · (− 1) · 3 · y 2 (тут нужно объединить слева числовые множители). Обычно в случае, когда одночлен имеет несколько переменных, записанных буквами, буквенные множители записывают в алфавитном порядке. Например, предпочтительнее запись 6 · a · b 4 · c · z 2 , чем b 4 · 6 · a · z 2 · c . Однако порядок может быть и другим, если этого требует цель вычисления. Привести к стандартному виду можно любой одночлен. Для этого нужно выполнить все необходимые тождественные преобразования. Понятие степени одночленаОчень важным является сопутствующее понятие степени одночлена. Запишем определение данного понятия. Определение 3 Степенью одночлена , записанного в стандартном виде, является сумма показателей степеней всех переменных, которые входят в его запись. Если ни одной переменной в нем нет, а сам одночлен отличен от 0 , то его степень будет нулевой. Приведем примеры степеней одночлена. Пример 1 Так, одночлен a имеет степень, равную 1 , поскольку a = a 1 . Если у нас есть одночлен 7 ,то он будет иметь нулевую степень, поскольку в нем нет переменных и он отличен от 0 . А вот запись 7 · a 2 · x · y 3 · a 2 будет одночленом 8 -й степени, ведь сумма показателей всех степеней переменных, включенных в него, будет равна 8: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 . Одночлен, приведенный к стандартному виду, и исходный многочлен будут иметь одинаковую степень. Пример 2 Покажем, как подсчитать степень одночлена 3 · x 2 · y 3 · x · (− 2) · x 5 · y . В стандартном виде его можно записать как − 6 · x 8 · y 4 . Вычисляем степень: 8 + 4 = 12 . Значит, степень исходного многочлена также равна 12 . Понятие коэффициента одночленаЕсли у нас есть одночлен, приведенный к стандартному виду, который включает в себя хотя бы одну переменную, то мы говорим о нем как о произведении с одним числовым множителем. Этот множитель называют числовым коэффициентом, или коэффициентом одночлена. Запишем определение. Определение 4 Коэффициентом одночлена называют числовой множитель одночлена, приведенного к стандартному виду. Возьмем для примера коэффициенты различных одночленов. Пример 3 Так, в выражении 8 · a 3 коэффициентом будет число 8 , а в (− 2 , 3) · x · y · z им будет − 2 , 3 . Особое внимание надо уделить коэффициентам, равным единице и минус единице. Как правило, в явном виде их не указывают. Считается, что в одночлене стандартного вида, в котором нет числового множителя, коэффициент равен 1 , например, в выражениях a , x · z 3 , a · t · x , поскольку их можно рассматривать как как 1 · a , x · z 3 – как 1 · x · z 3 и т.д. Точно так же в одночленах, в которых нет числового множителя и которые начинаются со знака минус, мы можем считать коэффициентом - 1 . Пример 4 Например, такой коэффициент будет у выражений − x , − x 3 · y · z 3 , поскольку они могут быть представлены как − x = (− 1) · x , − x 3 · y · z 3 = (− 1) · x 3 · y · z 3 и т.д. Если у одночлена вообще нет ни одного буквенного множителя, то говорить о коэффициенте можно и в этом случае. Коэффициентами таких одночленов-чисел будут сами эти числа. Так, например, коэффициент одночлена 9 будет равен 9 . Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter |
Читайте: |
---|
Популярное:
Новое
- Дипломированный специалист или бакалавр?
- Как читается буква y в немецком языке
- Ток-шоу "экология жилища и здоровье человека"
- Состав и строение земной коры Горные породы по группам
- Характеристика планет земной группы
- Прилагательные в английском языке Многосложные прилагательные в английском языке примеры построения
- Викинги – люди саги. Жизнь и нравы. Викинги. Ирландская сага Скандинавские саги читать онлайн
- Святополк I (князь Великой Моравии) Святой ростислав князь моравский
- Михаил Ланцов Смерть Британии!
- Том Сойер - обычный ребенок из благополучной семьи