Разделы сайта
Выбор редакции:
- Подробная теория с примерами (2020)
- 7 спутник от солнца. Солнечная система. Планеты солнечной системы. Особенности планет земной группы
- Видимый горизонт и его дальность
- Конспект открытого занятия по подготовке к обучению грамоте «Звуковой анализ слова «зонт
- Квантовый переход: наука и антинаука
- Знаки препинания в спп Когда не ставится запятая в сложносочиненном предложении
- Немецкая разведка против ссср Разведка фрг название
- Знаки препинания при прямой речи
- Склонение прилагательных
- Как менялись правила наследования престола в России
Реклама
Возведение комплексных чисел в степень. Портал тоэ - калькуляторы Комплексные числа онлайн |
Использование калькулятораДля вычисления выражения необходимо ввести строку для вычисления. При вводе чисел, разделителем целой и дробной части является точка. Можно использовать скобки. Операциями над комплексными числами являются умножение (*), деление (/), сложение (+), вычитание (-), возведение в степень (^) и другие. В качестве записи комплексных чисел можно использовать показательную и алгебраическую форму. Вводить мнимую единицу i можно без знака умножения, в остальных случаях знак умножения обязателен, например, между скобками или между числом и константой. Также могут быть использованы константы: число π вводится как pi, экспонента e , любые выражения в показателе должны быть обрамлены скобками. Пример строки для вычисления: (4.5+i12)*(3.2i-2.5)/e^(i1.25*pi) , что соответствует выражению \[\frac{(4{,}5 + i12)(3{,}2i-2{,}5)}{e^{i1{,}25\pi}}\] В калькуляторе возможно использование констант, математических функций, дополнительных операций и более сложных выражений, ознакомиться с этими возможностями вы можете на странице общих правил использования калькуляторов на этом сайте. Сайт находится в разработке, некоторые страницы могут быть недоступны. Новости07.07.2016
30.06.2016
СпонсорРГРОнлайн.ru – мгновенное решение работ по электротехнике онлайн. Начнем с любимого квадрата. Пример 9 Возвести в квадрат комплексное число Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей и перемножить числа по правилу умножения многочленов. Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения : Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения: Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба сумма и куба разности. Но эти формулы более актуальны длязадач комплексного анализа. Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде? И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра : Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степеньсправедлива формула: Просто до безобразия. Пример 10 Дано комплексное число , найти. Что нужно сделать? Сначала нужно представить данное число в тригонометрической форме. Внимательные читатели заметили, что в Примере 8 мы это уже сделали: Тогда, по формуле Муавра: Упаси боже, не нужно считать на калькуляторе , а вот угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить? Образно говоря, нужно избавиться от лишних оборотов. Один оборот составляетрадиан или 360 градусов. Выясним сколько у нас оборотов в аргументе. Для удобства делаем дробь правильной:, после чего становится хорошо видно, что можно убавить один оборот:. Надеюсь всем понятно, чтои– это один и тот же угол. Таким образом, окончательный ответ запишется так: Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел. Пример 12 Возвести в степень комплексные числа ,, Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство. Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова: Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и», получая четную степень: Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить: Извлечение корней из комплексных чисел. Квадратное уравнение с комплексными корнямиРассмотрим пример: Нельзя извлечь корень? Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя. В комплексных числах извлечь корень – можно! А точнее, два корня: Действительно ли найденные корни являются решением уравнения ? Выполним проверку: Что и требовалось проверить. Часто используется сокращенная запись, оба корня записывают в одну строчку под «одной гребёнкой»: . Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями . Как извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, думаю, всем понятно: ,,,,и т.д. Во всех случаях получаетсядва сопряженных комплексных корня. Начнем с любимого квадрата. Пример 9 Возвести в квадрат комплексное число Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей и перемножить числа по правилу умножения многочленов. Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения : Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения: Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба сумма и куба разности. Но эти формулы более актуальны длязадач комплексного анализа. Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде? И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра : Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степеньсправедлива формула: Просто до безобразия. Пример 10 Дано комплексное число , найти. Что нужно сделать? Сначала нужно представить данное число в тригонометрической форме. Внимательные читатели заметили, что в Примере 8 мы это уже сделали: Тогда, по формуле Муавра: Упаси боже, не нужно считать на калькуляторе , а вот угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить? Образно говоря, нужно избавиться от лишних оборотов. Один оборот составляетрадиан или 360 градусов. Выясним сколько у нас оборотов в аргументе. Для удобства делаем дробь правильной:, после чего становится хорошо видно, что можно убавить один оборот:. Надеюсь всем понятно, чтои– это один и тот же угол. Таким образом, окончательный ответ запишется так: Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел. Пример 12 Возвести в степень комплексные числа ,, Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство. Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова: Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и», получая четную степень: Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить: Извлечение корней из комплексных чисел. Квадратное уравнение с комплексными корнямиРассмотрим пример: Нельзя извлечь корень? Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя. В комплексных числах извлечь корень – можно! А точнее, два корня: Действительно ли найденные корни являются решением уравнения ? Выполним проверку: Что и требовалось проверить. Часто используется сокращенная запись, оба корня записывают в одну строчку под «одной гребёнкой»: . Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями . Как извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, думаю, всем понятно: ,,,,и т.д. Во всех случаях получаетсядва сопряженных комплексных корня. Пример 13 Решить квадратное уравнение Вычислим дискриминант: Дискриминант отрицателен, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах! По известным школьным формулам получаем два корня: – сопряженные комплексные корни Таким образом, уравнение имеет два сопряженных комплексных корня:, Теперь вы сможете решить любое квадратное уравнение! И вообще, любое уравнение с многочленом «энной» степени имеет ровнокорней, часть из которых может быть комплексными. Простой пример для самостоятельного решения: Пример 14 Найти корни уравнения и разложить квадратный двучлен на множители. Разложение на множители осуществляется опять же по стандартной школьной формуле. |
Популярное:
Новое
- 7 спутник от солнца. Солнечная система. Планеты солнечной системы. Особенности планет земной группы
- Видимый горизонт и его дальность
- Конспект открытого занятия по подготовке к обучению грамоте «Звуковой анализ слова «зонт
- Квантовый переход: наука и антинаука
- Знаки препинания в спп Когда не ставится запятая в сложносочиненном предложении
- Немецкая разведка против ссср Разведка фрг название
- Знаки препинания при прямой речи
- Склонение прилагательных
- Как менялись правила наследования престола в России
- "Дом с мезонином": история создания, критика, анализ произведения Дом с мезонином смысл названия