Разделы сайта
Выбор редакции:
- Подробная теория с примерами (2020)
- 7 спутник от солнца. Солнечная система. Планеты солнечной системы. Особенности планет земной группы
- Видимый горизонт и его дальность
- Конспект открытого занятия по подготовке к обучению грамоте «Звуковой анализ слова «зонт
- Квантовый переход: наука и антинаука
- Знаки препинания в спп Когда не ставится запятая в сложносочиненном предложении
- Немецкая разведка против ссср Разведка фрг название
- Знаки препинания при прямой речи
- Склонение прилагательных
- Как менялись правила наследования престола в России
Реклама
Высота прямоугольного треугольника из вершины прямого угла. Прямоугольный треугольник. Чему равна высота в прямоугольном треугольнике формула |
На самом деле все совсем не так страшно. Конечно, «настоящее» определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса нужно смотреть в статье . Но очень не хочется, правда? Можем обрадовать: для решения задач про прямоугольный треугольник можно просто заполнить следующие простые вещи: А что же угол? Есть ли катет, который находится напротив угла, то есть противолежащий (для угла) катет? Конечно, есть! Это катет! А как же угол? Посмотри внимательно. Какой катет прилегает к углу? Конечно же, катет. Значит, для угла катет - прилежащий, и А теперь, внимание! Посмотри, что у нас получилось: Видишь, как здорово: Теперь перейдём к тангенсу и котангенсу. Как это теперь записать словами? Катет каким является по отношению к углу? Противолежащим, конечно - он «лежит» напротив угла. А катет? Прилегает к углу. Значит, что у нас получилось? Видишь, числитель и знаменатель поменялись местами? И теперь снова углы и совершили обмен: РезюмеДавай вкратце запишем всё, что мы узнали.
Главная теорема о прямоугольном треугольнике - теорема Пифагора. Теорема ПифагораКстати, хорошо ли ты помнишь, что такое катеты и гипотенуза? Если не очень, то смотри на рисунок - освежай знания Вполне возможно, что ты уже много раз использовал теорему Пифагора, а вот задумывался ли ты, почему же верна такая теорема. Как бы её доказать? А давай поступим, как древние греки. Нарисуем квадрат со стороной. Видишь, как хитро мы поделили его стороны на отрезки длин и! А теперь соединим отмеченные точки Тут мы, правда ещё кое что отметили, но ты сам посмотри на рисунок и подумай, почему так. Чему же равна площадь большего квадрата? Правильно, . А площадь меньшего? Конечно, . Осталась суммарная площадь четырех уголков. Представь, что мы взяли их по два и прислонили друг к другу гипотенузами. Что получилось? Два прямоугольника. Значит, площадь «обрезков» равна. Давай теперь соберем всё вместе. Преобразуем: Вот и побывали мы Пифагором - доказали его теорему древним способом. Прямоугольный треугольник и тригонометрияДля прямоугольного треугольника выполняются следующие соотношения: Синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе Косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету. Котангенс острого угла равен отношению прилежащего катета к противолежащему катету. И ещё раз всё это в виде таблички: Это очень удобно! Признаки равенства прямоугольных треугольниковI. По двум катетам II. По катету и гипотенузе III. По гипотенузе и острому углу IV. По катету и острому углу a) b) Внимание! Здесь очень важно, чтобы катеты были «соответствующие». Например, если будет так: То ТРЕУГОЛЬНИКИ НЕ РАВНЫ , несмотря на то, что имеют по одному одинаковому острому углу. Нужно, чтобы в обоих треугольниках катет был прилежащим, или в обоих - противолежащим . Ты заметил, чем отличаются признаки равенства прямоугольных треугольников от обычных признаков равенства треугольников? Загляни в тему « и обрати внимание на то, что для равенства «рядовых» треугольников нужно равенство трех их элементов: две стороны и угол между ними, два угла и сторона между ними или три стороны. А вот для равенства прямоугольных треугольников достаточно всего двух соответственных элементов. Здорово, правда? Примерно такая же ситуация и с признаками подобия прямоугольных треугольников. Признаки подобия прямоугольных треугольниковI. По острому углу II. По двум катетам III. По катету и гипотенузе Медиана в прямоугольном треугольникеПочему это так? Рассмотрим вместо прямоугольного треугольника целый прямоугольник. Проведём диагональ и рассмотрим точку - точку пересечения диагоналей. Что известно про диагонали прямоугольника? И что из этого следует? Вот и получилось, что
Запомни этот факт! Очень помогает! А что ещё более удивительно, так это то, что верно и обратное утверждение. Что же хорошего можно получить из того, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы? А давай посмотрим на картинку Посмотри внимательно. У нас есть: , то есть расстояния от точки до всех трёх вершин треугольника оказались равны. Но в треугольнике есть всего одна точка, расстояния от которой о всех трёх вершин треугольника равны, и это - ЦЕНТР ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ. Значит, что получилось? Вот давай мы начнём с этого «кроме того...». Посмотрим на и. Но у подобных треугольников все углы равны! То же самое можно сказать и про и А теперь нарисуем это вместе: Какую же пользу можно извлечь из этого «тройственного» подобия. Ну, например - две формулы для высоты прямоугольного треугольника. Запишем отношения соответствующих сторон: Для нахождения высоты решаем пропорцию и получаем первую формулу "Высота в прямоугольном треугольнике" : Ну вот, теперь, применяя и комбинируя эти знания с другими, ты решишь любую задачу с прямоугольным треугольником! Итак, применим подобие: . Что теперь получится? Опять решаем пропорцию и получаем вторую формулу : Обе эти формулы нужно очень хорошо помнить и применять ту, которую удобнее. Запишем их ещё раз Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: . Признаки равенства прямоугольных треугольников:
Признаки подобия прямоугольных треугольников:
Синус, косинус, тангенс, котангенс в прямоугольном треугольнике
Высота прямоугольного треугольника: или. В прямоугольном треугольнике медиана , проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы: . Площадь прямоугольного треугольника:
Треугольники. Основные понятия. Треугольник - это фигура, состоящая из трех отрезков и трех точек, не лежащих на одной прямой. Отрезки называются сторонами , а точки - вершинами . Сумма углов треугольника равна 180 º . Высота треугольника. Высота треугольника - это перпендикуляр, проведенный из вершины к противолежащей стороне. В остроугольном треугольнике высота содержится внутри треугольника (рис.1). В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами треугольника (рис.2). В тупоугольном треугольнике высота проходит вне треугольника (рис.3). Свойства высоты треугольника: Биссектриса треугольника. Биссектриса треугольника - это отрезок, который делит угол вершины пополам и соединяет вершину с точкой на противолежащей стороне (рис.5). Свойства биссектрисы: Медиана треугольника. Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны (рис.9а).
Средняя линия треугольника. Средняя линия треугольника - это отрезок, соединяющий середины двух его сторон (рис.10). Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине Внешний угол треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух несмежных внутренних углов (рис.11). Внешний угол треугольника больше любого несмежного угла. Прямоугольный треугольник. Прямоугольный треугольник - это треугольник, у которого есть прямой угол (рис.12). Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой . Две другие стороны называются катетами . Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. 1) В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из прямого угла, образует три подобных треугольника: ABC, ACH и HCB (рис.14а). Соответственно, углы, образуемые высотой, равны углам А и В. Рис.14а Равнобедренный треугольник. Равнобедренный треугольник - это треугольник, у которого две стороны равны (рис.13). Эти равные стороны называются боковыми сторонами , а третья - основанием треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. (В нашем треугольнике угол А равен углу C). В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является одновременно и биссектрисой, и высотой треугольника. Равносторонний треугольник. Равносторонний треугольник - это треугольник, у которого все стороны равны (рис.14). Свойства равностороннего треугольника: Замечательные свойства треугольников. У треугольников есть оригинальные свойства, которые помогут вам успешно решать задачи, связанные с этими фигурами. Некоторые из этих свойств изложены выше. Но повторяем их еще раз, добавив к ним несколько других замечательных особенностей:
Признаки равенства треугольников . Первый признак равенства : если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Второй признак равенства : если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Третий признак равенства : если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Неравенство треугольника. В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон. Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c 2 = a 2 + b 2 . Площадь треугольника. 1) Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне: ah
2) Площадь треугольника равна половине произведения двух любых его сторон на синус угла между ними: 1
Треугольник, описанный около окружности. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон (рис.16а ). Треугольник, вписанный в окружность. Треугольник называется вписанным в окружность, если он касается ее всеми вершинами (рис.17a ). Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла прямоугольного треугольника (рис.18). Синус
острого угла x
противолежащего
катета к гипотенузе.
Косинус
острого угла x
прямоугольного треугольника - это отношение прилежащего
катета к гипотенузе. Тангенс
острого угла x
- это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Котангенс
острого угла x
- это отношение прилежащего катета к противолежащему.
Правила: Катет, противолежащий углу x , равен произведению гипотенузы на sin x : b = c · sin x Катет, прилежащий к углу x , равен произведению гипотенузы на cos x : a = c · cos x Катет, противоположный углу x , равен произведению второго катета на tg x : b = a · tg x Катет, прилежащий к углу x , равен произведению второго катета на ctg x : a = b · ctg x . Для любого острого угла x : sin (90° - x ) = cos x cos (90° - x ) = sin x
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок! Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию. Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018. Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно. Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ. Свойство: 1. В любом прямоугольном треугольнике, высота, опущенная из прямого угла(на гипотенузу), делит прямоугольный треугольник, на три подобных треугольника. Свойство: 2. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу(или среднему геометрическому тех отрезков на которые высота разбивает гипотенузу). Свойство: 3. Катет равен среднему геометрическому гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Свойство: 4. Катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы. Формула 1. Формула 2. , где гипотенуза; , катеты. Свойство: 5. В прямоугольном треугольнике медиана проведенная к гипотенузе, равна ее половине и равна радиусу описанной окружности. Свойство: 6. Зависимость между сторонами и углами прямоугольного треугольника: 44. Теорема косинусов. Следствия: связь между диагоналями и сторонами параллелограмма; определение вида треугольника; формула для вычисления длины медианы треугольника; вычисление косинуса угла треугольника. Конец работы - Эта тема принадлежит разделу: Класс. Программа коллоквиума основы планиметрииСвойство смежных углов.. определение два угла смежные если одна сторона у них общая в две другие образуют прямую линию.. Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Что будем делать с полученным материалом:Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях: |
Популярное:
Новое
- 7 спутник от солнца. Солнечная система. Планеты солнечной системы. Особенности планет земной группы
- Видимый горизонт и его дальность
- Конспект открытого занятия по подготовке к обучению грамоте «Звуковой анализ слова «зонт
- Квантовый переход: наука и антинаука
- Знаки препинания в спп Когда не ставится запятая в сложносочиненном предложении
- Немецкая разведка против ссср Разведка фрг название
- Знаки препинания при прямой речи
- Склонение прилагательных
- Как менялись правила наследования престола в России
- "Дом с мезонином": история создания, критика, анализ произведения Дом с мезонином смысл названия