Разделы сайта
Выбор редакции:
- Подробная теория с примерами (2020)
- 7 спутник от солнца. Солнечная система. Планеты солнечной системы. Особенности планет земной группы
- Видимый горизонт и его дальность
- Конспект открытого занятия по подготовке к обучению грамоте «Звуковой анализ слова «зонт
- Квантовый переход: наука и антинаука
- Знаки препинания в спп Когда не ставится запятая в сложносочиненном предложении
- Немецкая разведка против ссср Разведка фрг название
- Знаки препинания при прямой речи
- Склонение прилагательных
- Как менялись правила наследования престола в России
Реклама
| Числовые ряды. Достаточные признаки их сходимости. Выбор признака сходимости числовых рядов Доказать что числовой ряд сходится по определению |
|
Определение числового ряда и его сходимости. Необходимый признак сходимости Пусть – бесконечная последовательность чисел. Определение. Выражение , (1) или, что то же самое, , называется числовым рядом , а числа https://pandia.ru/text/79/302/images/image005_146.gif" width="53" height="31">– членами ряда. Член с произвольным номером называется n -м, или общим членом ряда . Само по себе выражение (1) никакого определенного числового смысла не имеет, потому что, вычисляя сумму, мы каждый раз имеем дело лишь с конечным числом слагаемых. Определить смысл этого выражения наиболее естественно следующим образом. Пусть дан ряд (1). Определение. Сумма n первых членов ряда
называется n -й частичной суммой ряда. Образуем последовательность частичных сумм: font-size:14.0pt">С неограниченным увеличением числа n в сумме учитывается все большее число членов ряда. Поэтому разумно дать такое определение. Определение. Если при существует конечный предел последовательности частичных сумм https://pandia.ru/text/79/302/images/image011_76.gif" width="103" height="41"> называется его суммой . Если последовательность https://pandia.ru/text/79/302/images/image013_77.gif" width="80" height="31">, 2) если колеблющаяся. В обоих случаях говорят, что ряд суммы не имеет. Пример 1. Рассмотрим ряд, составленный из членов геометрической прогрессии:
где – называется первым членом прогрессии, а font-size:14.0pt"> Частичная сумма этого ряда при font-size:14.0pt">font-size:14.0pt">Отсюда: 1) если , то font-size:14.0pt">т. е. ряд геометрической прогрессии сходится и его сумма . В частности, если При https://pandia.ru/text/79/302/images/image026_42.gif" width="307" height="59 src="> также сходится и его сумма . 2) если , то 3) если , то ряд (2) принимает вид font-size:14.0pt"> и
4) если https://pandia.ru/text/79/302/images/image036_32.gif" width="265" height="37"> . Для этого ряда https://pandia.ru/text/79/302/images/image038_28.gif" width="253" height="31 src=">, т. е..gif" width="67" height="41"> не существует, следовательно, ряд также расходится (при ) . Вычисление суммы ряда непосредственно по определению очень неудобно из-за трудности явного вычисления частичных сумм font-size:14.0pt"> и нахождения предела их последовательности. Но, если установлено, что ряд сходится, его сумму можно вычислить приближенно, т. к. из определения предела последовательности следует, что при достаточно больших . Поэтому при исследовании рядов достаточно 1) знать приемы, позволяющие констатировать сходимость ряда без нахождения его суммы; 2) уметь определить font-size:14.0pt">.gif" width="16 height=24" height="24"> с определенной точностью. Сходимость числовых рядов устанавливается с помощью теорем, которые называются признаками сходимости. Необходимый признак сходимости Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т. е. font-size:14.0pt">.gif" width="61 height=63" height="63"> расходится. Пример 2. Доказать, что ряд 0 " style="border-collapse:collapse"> | |||||
|
|
||||
|
|
||||
|
, (2)
, ряд 
сходится и его сумма .
, т. е. ряд (2) расходится.
;
;
;
.
– бесконечно
;
. Ряд с общим членом
сходится по признаку сравнения.
. Такой ряд называется рядом Дирихле
. В примерах 3 и 4 было показано, что ряд Дирихле с и расходится. Можно пока-
.
|
|
|
;
;
;
Решение. а) Так как при достаточно больших https://pandia.ru/text/79/302/images/image101_9.gif" width="31" height="23 src=">, а
~ , то 
~ font-size:14.0pt">сравнения с данным гармонический ряд
font-size:14.0pt">, т. е. .
font-size:14.0pt"> Поскольку предел конечен и отличен от нуля и гармонический ряд расходится, то расходится и данный ряд.
Б) При достаточно больших https://pandia.ru/text/79/302/images/image109_10.gif" width="111" height="31 src=">.gif" width="129" height="31 src=">.gif" width="132" height="64 src="> – общий член ряда, с которым будем сравнивать данный:
Font-size:14.0pt">Ряд сходится (ряд Дирихле с font-size:16.0pt">) , поэтому данный ряд также сходится.
В) 
, поэтому бесконечно малую
font-size:14.0pt"> можно
заменить на эквивалентную ей при величину (https://pandia.ru/text/79/302/images/image058_20.gif" width="13" height="21 src="> при font-size: 20.0pt">) . ;
;
;
г )
;
.
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Числовые ряды
Лекция. Числовые ряды
1. Определение числового ряда. Сходимость
2. Основные свойства числовых рядов
3. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости
4. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница
5. Знакопеременные ряды
Вопросы для самопроверки
Литература
Лекция. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
1. Определение числового ряда. Сходимость.
2. Основные свойства числовых рядов.
3. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости.
4. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница.
5. Знакопеременные ряды.
1. Определение числового ряда. Сходимость
В математических приложениях, а также при решении некоторых задач в экономике, статистике и других областях рассматриваются суммы с бесконечным числом слагаемых. Здесь мы дадим определение того, что понимается под такими суммами.
Пусть задана бесконечная числовая последовательность
, , …, , …Определение 1.1 . Числовым рядом или просто рядом называется выражение (сумма) вида
. (1.1) называются членами ряда , – общим или n – м членом ряда.Чтобы задать ряд (1.1) достаточно задать функцию натурального аргумента
вычисления -го члена ряда по его номеруПример 1.1 . Пусть
. Ряд (1.2)называется гармоническим рядом .
Пример 1.2 . Пусть
, Ряд (1.3)называется обобщенным гармоническим рядом . В частном случае при
получается гармонический ряд.Пример 1.3 . Пусть
= . Ряд (1.4)называется рядом геометрической прогрессии .
Из членов ряда (1.1) образуем числовую последовательность частичных сумм где
– сумма первых членов ряда, которая называется n -й частичной суммой , т. е. , , ,…………………………….
, (1.5)…………………………….
Числовая последовательность
при неограниченном возрастании номера может:1) иметь конечный предел;
2) не иметь конечного предела (предел не существует или равен бесконечности).
Определение 1.2 . Ряд (1.1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (1.5) имеет конечный предел, т. е.
В этом случае число
называется суммой ряда (1.1) и пишется .Определение 1.3. Ряд (1.1) называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм не имеет конечного предела .
Расходящемуся ряду не приписывают никакой суммы.
Таким образом, задача нахождения суммы сходящегося ряда (1.1) равносильна вычислению предела последовательности его частичных сумм.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1.4. Доказать, что ряд
сходится, и найти его сумму.
Найдем n - ю частичную сумму данного ряда
.Общий член
ряда представим в виде .Отсюда имеем:
. Следовательно, данный ряд сходится и его сумма равна 1:Пример 1.5 . Исследовать на сходимость ряд
(1.6)Для этого ряда
. Следовательно, данный ряд расходится.Замечание. При
ряд (1.6) представляет собой сумму бесконечного числа нулей и является, очевидно, сходящимся.Пример 1.6. Исследовать на сходимость ряд
(1.7)Для этого ряда
В этом случае предел последовательности частичных сумм
не существует, и ряд расходится.Пример 1.7. Исследовать на сходимость ряд геометрической прогрессии (1.4):
Нетрудно показать, что n -я частичная сумма ряда геометрической прогрессии при
задается формулой .Рассмотрим случаи:
Тогда и .Следовательно, ряд сходится и его сумма равна
Перед началом работы с этой темой советую посмотреть раздел с терминологией для числовых рядов. Особенно стоит обратить внимание на понятие общего члена ряда. Если у вас есть сомнения в правильности выбора признака сходимости, советую глянуть тему "Выбор признака сходимости числовых рядов" .
Необходимый признак сходимости числовых рядов имеет простую формулировку: общий член сходящегося ряда стремится к нулю. Можно записать этот признак и более формально:
Если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ сходится, то $\lim_{n\to\infty}u_n=0$.
Часто в литературе вместо словосочетания "необходимый признак сходимости" пишут "необходимое условие сходимости". Однако перейдём к сути: что означает данный признак? А означает он следующее: если $\lim_{n\to\infty}u_n=0$, то ряд может сходиться. Если же $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$ (или же предела попросту не существует), то ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ расходится.
Стоит обратить внимание, что равенство $\lim_{n\to\infty}u_n=0$ вовсе не означает сходимости ряда. Ряд может как сходиться, так и расходиться. А вот если $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$, то ряд гарантированно расходится. Если эти нюансы требуют детальных пояснений, то прошу раскрыть примечание.
Что означает словосочетание "необходимое условие"? показать\скрыть
Поясним понятие необходимого условия на примере. Для покупки ручки студенту необходимо иметь 10 рублей. Это можно записать так: если студент покупает ручку, то у него есть 10 рублей. Наличие десяти рублей - это и есть необходимое условие покупки ручки.
Пусть это условие выполнено, т.е. десятка у студента есть. Значит ли это, что он купит ручку? Вовсе нет. Он может купить ручку, а может приберечь деньги на потом. Или купить что-либо иное. Или подарить их кому-то, - вариантов масса:) Иными словами, выполнение необходимого условия покупки ручки (т.е. наличие денег) вовсе не гарантирует покупку этой ручки.
Точно так же и необходимое условие сходимости числового ряда $\lim_{n\to\infty}u_n=0$ вовсе не гарантирует сходимость этого самого ряда. Простая аналогия: если есть деньги, студент может купить ручку, а может и не купить. Если $\lim_{n\to\infty}u_n=0$, ряд может как сходиться, так и расходиться.
Однако что произойдет, если необходимое условие покупки ручки не выполнено, т.е. денег нет? Тогда студент ручку точно не купит. То же самое и с рядами: если необходимое условие сходимости не выполнено, т.е. $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$, то ряд точно будет расходиться.
Говоря кратко: если необходимое условие выполнено, то следствие может как произойти, так и не произойти. Однако если необходимое условие не выполнено, то следствие точно не произойдёт.
Для наглядности приведу пример двух рядов: $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$. Общий член первого ряда $u_n=\frac{1}{n}$ и общий член второго ряда $v_n=\frac{1}{n^2}$ стремятся к нулю, т.е.
$$ \lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0;\; \lim_{n\to\infty}v_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}=0. $$
Однако гармонический ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ расходится, а ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится. Выполнение необходимого условия сходимости вовсе не гарантирует сходимости ряда.
Исходя из необходимого условия сходимости ряда можно сформулировать достаточный признак расходимости числового ряда:
Если $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$, то ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ расходится.
Чаще всего в стандартных примерах необходимый признак сходимости проверяется, если общий член ряда представлен дробью, числитель и знаменатель которой есть некие многочлены. Например, $u_n=\frac{3n^2+2n-1}{5n^2+7}$ (см. пример №1). Или же могут присутствовать корни от многочленов (см. пример №2). Бывают примеры, которые несколько выбиваются из данной схемы, но для стандартных контрольных работ это редкость (см. примеры во второй части этой темы). Подчеркну главное: с помощью необходимого признака нельзя доказать сходимость ряда. Этот признак используют, когда нужно доказать, что ряд расходится.
Пример №1
Исследовать сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3n^2+2n-1}{5n^2+7}$.
Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac{3n^2+2n-1}{5n^2+7}$. Найдём предел общего члена ряда:
$$ \lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2+2n-1}{5n^2+7}=\left|\frac{\infty}{\infty}\right|= \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{3n^2}{n^2}+\frac{2n}{n^2}-\frac{1}{n^2}}{\frac{5n^2}{n^2}+\frac{7}{n^2}}= \lim_{n\to\infty}\frac{3+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}}{5+\frac{7}{n^2}}=\frac{3+0-0}{5+0}=\frac{3}{5}. $$
"Предел отношения двух многочленов" . Так как предел общего члена ряда не равен нулю, т.е. $\lim_{n\to\infty}u_n=\frac{3}{5}\neq 0$, то необходимый признак сходимости не выполнен. Следовательно, ряд расходится.
Решение окончено, однако, полагаю, у читателя возникнет вполне резоннный вопрос: а как мы вообще увидели, что нужно проверить выполнение необходимого условия сходимости? Существует немало признаков сходимости числовых рядов, так почему же взяли именно этот? Данный вопрос совсем не праздный. Но так как ответ на него, возможно, будет интересен не всем читателям, то я скрыл его под примечание.
Почему мы начали применять именно необходимый признак сходимости? показать\скрыть
Если говорить нестрого, то вопрос сходимости этого ряда решается ещё до формального исследования. Я не буду касаться такой темы как порядок роста, просто приведу некие общие рассуждения. Давайте посмотрим на общий член ряда $u_n=\frac{3n^2+2n-1}{5n^2+7}$ повнимательнее. Сначала обратимся к числителю. Число (-1), расположенное в числителе, можно отбросить сразу: если $n\to\infty$, то данное число будет пренебрежимо малым по сравнению с остальными слагаемыми.
Посмотрим на степени $n^2$ и $n$, имеющиеся в числителе. Вопрос: какой элемент ($n^2$ или $n$) будет расти быстрее прочих?
Ответ здесь прост: наиболее быстро будет увеличивать свои значения именно $n^2$. Например, когда $n=100$, то $n^2=10\;000$. И этот разрыв между $n$ и $n^2$ будет всё больше и больше. Поэтому все слагаемые, кроме тех, что содержат $n^2$, мы мысленно отбросим. После такого "отбрасывания" в числителе останется $3n^2$. А после проведения подобной процедуры для знаменателя, там останется $5n^2$. И дробь $\frac{3n^2+2n-1}{5n^2+7}$ теперь станет такой: $\frac{3n^2}{5n^2}=\frac{3}{5}$. Т.е. на бесконечности общий член явно не будет стремиться к нулю. Осталось лишь показать это формально, что и было сделано выше.
Частенько в записи общего члена ряда используют такие элементы, как, например, $\sin\alpha$ или $\arctg\alpha$ и тому подобное. Нужно просто помнить, что значения подобных величин не могут выходить за некие числовые границы. Например, каким бы ни было значение $\alpha$, значение $\sin\alpha$ останется в пределах $-1≤\sin\alpha≤ 1$. Т.е., к примеру, мы можем записать, что $-1≤\sin(n!e^n)≤ 1$. А теперь представьте, что в записи общего члена ряда расположено выражение вроде $5n+\sin(n!e^n)$. Сыграет ли синус, который может "колебаться" лишь от -1 до 1, хоть какую-либо значимую роль? Ведь значения $n$ устремляются в бесконечность, а синус не сможет превысить даже единицу! Поэтому при предварительном рассмотрении выражения $5n+\sin(n!e^n)$ синус можно просто отбросить.
Или, для примера, возьмём арктангенс. Каким бы ни было значение аргумента $\alpha$, значения $\arctg\alpha$ будут удовлетворять неравенству $-\frac{\pi}{2}<\arctg\alpha<\frac{\pi}{2}$. Т.е., например, в выражении вроде $7n^3+\sqrt{9n+100}-6\arctg(5^n+587n^{258})$ можно сразу отбросить арктангенс. Да и $\sqrt{9n+100}$ тоже, оставив при этом лишь $7n^3$.
Чтобы определить, какие элементы можно "отбрасывать", а какие нет, нужен небольшой навык. Чаще всего вопрос сходимости ряда можно решить ещё до формального исследования. А формальное исследование в стандартных примерах служит лишь подтверждением интуитивно полученного результата.
Ответ : ряд расходится.
Пример №2
Исследовать ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{4n^7+5n^3-4}}{9n^2-n+12}$ на сходимость.
Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac{\sqrt{4n^7+5n^3-4}}{9n^2-n+12}$. Найдём предел общего члена ряда:
$$ \lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4n^7+5n^3-4}}{9n^2-n+12}=\left|\frac{\infty}{\infty}\right|= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{\frac{4n^7}{n^7}+\frac{5n^3}{n^7}-\frac{4}{n^7}}}{\frac{9n^2}{n^{\frac{7}{3}}}-\frac{n}{n^{\frac{7}{3}}}+\frac{12}{n^{\frac{7}{3}}}}= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{5}{n^4}-\frac{4}{n^7}}}{\frac{9}{n^\frac{1}{3}}-\frac{1}{n^\frac{4}{3}}+\frac{12}{n^\frac{7}{3}}}=+\infty. $$
Если метод решения данного предела вызывает вопросы, то советую обратиться к теме "Пределы с иррациональностями. Третья часть" (пример №7). Так как предел общего члена ряда не равен нулю, т.е. $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$, то необходимый признак сходимости не выполнен. Следовательно, ряд расходится.
Немного поговорим с позиции интуитивных рассуждений. В принципе, здесь верно всё то же самое, что было сказано в примечании к решению примера №1. Если мысленно "отбросить" все "несущественные" слагаемые в числителе и знаменателе общего члена ряда, то дробь $\frac{\sqrt{4n^7+5n^3-4}}{9n^2-n+12}$ примет вид: $\frac{\sqrt{4n^7}}{9n^2}=\frac{n^2\sqrt{4n}}{9n^2}=\frac{\sqrt{4n}}{9}$. Т.е. ещё до формального исследования становится ясным, что при $n\to\infty$ общий член ряда к нулю стремиться не станет. К бесконечности - станет, к нулю - нет. Поэтому остаётся лишь показать это строго, что и было сделано выше.
Ответ : ряд расходится.
Пример №3
Исследовать сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(5^n\sin\frac{8}{3^n}\right)$.
Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=5^n\sin\frac{8}{3^n}$. Найдём предел общего члена ряда:
$$ \lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\left(5^n\sin\frac{8}{3^n}\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\frac{8}{3^n}}{\frac{1}{5^n}}=\left|\frac{0}{0}\right|=\left|\begin{aligned}&\frac{8}{3^n}\to 0;\\&\sin\frac{8}{3^n}\sim\frac{8}{3^n}. \end{aligned}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{8}{3^n}}{\frac{1}{5^n}}=8\cdot\lim_{n\to\infty}\left(\frac{5}{3}\right)^n=+\infty. $$
Так как предел общего члена ряда не равен нулю, т.е. $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$, то необходимый признак сходимости не выполнен. Следовательно, ряд расходится.
Пару слов насчёт тех преобразований, которые были осуществлены при вычислении предела. Выражение $5^n$ было помещено в числитель для того, чтобы выражения и в числителе, и в знаменателе стали бесконечно малыми. Т.е. при $n\to\infty$ имеем: $\sin\frac{8}{3^n}\to 0$ и $\frac{1}{5^n}\to 0$. А если мы имеем отношение бесконечно малых, то смело можем применять формулы, указанные в документе "Эквивалентные бесконечно малые функции" (см. таблицу в конце документа). Согласно одной из таких формул, если $x\to 0$, то $\sin x\sim x$. А у нас и есть как раз такой случай: так как $\frac{8}{3^n}\to 0$, то $\sin\frac{8}{3^n}\sim\frac{8}{3^n}$. Иными словами, мы просто-напросто заменяем выражение $\sin\frac{8}{3^n}$ выражением $\frac{8}{3^n}$.
Полагаю, может возникнуть вопрос, зачем же мы преобразовывали выражение $5^n\sin\frac{8}{3^n}$ к виду дроби, - ведь замену можно было сделать и без такого преобразования. Ответ тут таков: замену-то сделать можно, но вот правомерна ли она будет? Теорема про эквивалентные бесконечно малые функции даёт недвусмысленное указание, что подобные замены возможны лишь в выражениях вида $\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}$ (при этом $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ - бесконечно малые), расположенных под знаком предела. Вот мы и преобразовали наше выражение к виду дроби, подогнав его под требования теоремы.
Ответ : ряд расходится.
Пример №4
Исследовать сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{n^2}$.
Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac{3^n}{n^2}$. Вообще-то, вопрос со сходимостью этого ряда легко решается с помощью признака Д"Аламбера . Однако можно применить и необходимый признак сходимости.
Посмотрим повнимательнее на общий член ряда. В числителе расположено выражение $3^n$, которое с возрастанием $n$ увеличивается гораздо быстрее, нежели расположенный в знаменателе $n^2$. Сравните сами: например, если $n=10$, то $3^n=59049$, а $n^2=100$. И этот разрыв стремительно увеличивается с ростом $n$.
Вполне логично предположить, что если $n\to\infty$, то $u_n$ не станет стремиться к нулю, т.е. необходимое условие сходимости выполнено не будет. Осталось лишь проверить эту столь правдоподобную гипотезу и вычислить $\lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\frac{3^n}{n^2}$. Однако перед вычислением этого предела найдём вспомогательный предел функции $y=\frac{3^x}{x^2}$ при $x\to +\infty$, т.е. вычислим $\lim_{x\to +\infty}\frac{3^x}{x^2}$. Зачем мы это делаем: дело в том, что в выражении $u_n=\frac{3^n}{n^2}$ параметр $n$ принимает лишь натуральные значения ($n=1,2,3,\ldots$), а аргумент $x$ функции $y=\frac{3^x}{x^2}$ принимает действительные значения. При нахождении $\lim_{x\to+\infty}\frac{3^x}{x^2}$ мы можем применить правило Лопиталя:
$$ \lim_{x\to +\infty}\frac{3^x}{x^2}=\left|\frac{\infty}{\infty}\right|=|\text{применяем правило Лопиталя}|=\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(3^x\right)"}{\left(x^2\right)"}=\lim_{x\to +\infty}\frac{3^x\ln 3}{2x}=\\ =\frac{\ln 3}{2}\cdot\lim_{x\to +\infty}\frac{3^x}{x} =\left|\frac{\infty}{\infty}\right|=|\text{применяем правило Лопиталя}|=\frac{\ln 3}{2}\cdot\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(3^x\right)"}{\left(x\right)"}=\\ =\frac{\ln 3}{2}\cdot\lim_{x\to +\infty}\frac{3^x\ln 3}{1}=\frac{\ln^2 3}{2}\cdot\lim_{x\to +\infty}3^x=+\infty. $$
Так как $\lim_{x\to +\infty}\frac{3^x}{x^2}=+\infty$, то $\lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\frac{3^n}{n^2}=+\infty$. Так как $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$, то необходимое условие сходимости ряда не выполнено, т.е. заданный ряд расходится.
Ответ : ряд расходится.
Иные примеры рядов, сходимость которых проверяется с помощью необходимого признака сходимости, находятся во второй части этой темы.
Ряды для чайников. Примеры решений
Всех выживших приветствую на втором курсе! На этом уроке, а точнее, на серии уроков, мы научимся управляться с рядами. Тема не очень сложная, но для ее освоения потребуются знания с первого курса, в частности, необходимо понимать, что такое предел , и уметь находить простейшие пределы. Впрочем, ничего страшного, по ходу объяснений я буду давать соответствующие ссылки на нужные уроки. Некоторым читателям тема математических рядов, приемы решения, признаки, теоремы могут показаться своеобразными, и даже вычурными, нелепыми. В этом случае не нужно сильно «загружаться», принимаем факты такими, какими они есть, и просто учимся решать типовые, распространенные задания.
1) Ряды для чайников , и для самоваров сразу содержание:)
Для сверхбыстрой подготовки по теме есть экспресс-курс в pdf формате , с помощью которого реально «поднять» практику буквально за день.
Понятие числового ряда
В общем виде числовой ряд
можно записать так: .
Здесь:
– математический значок суммы;
– общий член ряда
(запомните этот простой термин);
– переменная-«счётчик». Запись обозначает, что проводится суммирование от 1 до «плюс бесконечности», то есть, сначала у нас , затем , потом , и так далее – до бесконечности. Вместо переменной иногда используется переменная или . Суммирование не обязательно начинается с единицы, в ряде случаев оно может начинаться с нуля , с двойки либо с любого натурального числа
.
В соответствии с переменной-«счётчиком» любой ряд можно расписать развёрнуто:
– и так далее, до бесконечности.
Cлагаемые 
– это ЧИСЛА
, которые называются членами
ряда. Если все они неотрицательны (больше либо равны нулю)
, то такой ряд называют положительным числовым рядом
.
Пример 1
Это уже, кстати, «боевое» задание – на практике довольно часто требуется записать несколько членов ряда.
Сначала , тогда:
Затем , тогда:
Потом , тогда:
Процесс можно продолжить до бесконечности, но по условию требовалось написать первые три члена ряда, поэтому записываем ответ: 
Обратите внимание на принципиальное отличие от числовой последовательности
,
в которой члены не суммируются, а рассматриваются как таковые.
Пример 2
Записать первые три члена ряда
Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока
Даже для сложного на первый взгляд ряда не составляет трудности расписать его в развернутом виде:
Пример 3
Записать первые три члена ряда
На самом деле задание выполняется устно: мысленно подставляем в общий член ряда
сначала , потом и . В итоге:
Ответ оставляем в таком виде, полученные члены ряда лучше не упрощать
, то есть не выполнять
действия: , , . Почему? Ответ в виде 
гораздо проще и удобнее проверять преподавателю.
Иногда встречается обратное задание
Пример 4
Здесь нет какого-то четкого алгоритма решения, закономерность нужно просто увидеть
.
В данном случае:
Для проверки полученный ряд можно «расписать обратно» в развернутом виде.
А вот пример чуть сложнее для самостоятельного решения:
Пример 5
Записать сумму в свёрнутом виде с общим членом ряда
Выполнить проверку, снова записав ряд в развернутом виде
Сходимость числовых рядов
Одной из ключевых задач темы является исследование ряда на сходимость . При этом возможны два случая:
1) Ряд
расходится
. Это значит, что бесконечная сумма равна бесконечности: либо суммы вообще не существует
, как, например, у ряда
(вот, кстати, и пример ряда с отрицательными членами). Хороший образец расходящегося числового ряда встретился в начале урока: 
. Здесь совершенно очевидно, что каждый следующий член ряда больше, чем предыдущий, поэтому 
и, значит, ряд расходится. Ещё более тривиальный пример: 
.
2) Ряд
сходится
. Это значит, что бесконечная сумма равна некоторому конечному числу
: . Пожалуйста: 
– этот ряд сходится и его сумма равна нулю. В качестве более содержательного примера можно привести бесконечно убывающую
геометрическую прогрессию, известную нам ещё со школы: 
. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии рассчитывается по формуле: , где – первый член прогрессии, а – её основание, которое, как правило, записывают в виде правильной
дроби. В данном случае: , . Таким образом: 
Получено конечное число, значит, ряд сходится, что и требовалось доказать.
Однако в подавляющем большинстве случаев найти сумму ряда не так-то просто, и поэтому на практике для исследования сходимости ряда используют специальные признаки, которые доказаны теоретически.
Существует несколько признаков сходимости ряда: необходимый признак сходимости ряда, признаки сравнения, признак Даламбера, признаки Коши , признак Лейбница и некоторые другие признаки. Когда какой признак применять? Это зависит от общего члена ряда , образно говоря – от «начинки» ряда. И очень скоро мы всё разложим по полочкам.
! Для дальнейшего усвоения урока необходимо хорошо понимать , что такое предел и хорошо уметь раскрывать неопределенность вида . Для повторения или изучения материала обратитесь к статье Пределы. Примеры решений .
Необходимый признак сходимости ряда
Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю: .
Обратное в общем случае неверно, т.е., если , то ряд может как сходиться, так и расходиться. И поэтому этот признак используют для обоснования расходимости ряда:
Если общий член ряда не стремится к нулю , то ряд расходится
Или короче: если , то ряд расходится. В частности, возможна ситуация, когда предела не существует вообще, как, например, предела . Вот сразу и обосновали расходимость одного ряда:)
Но гораздо чаще предел расходящегося ряда равен бесконечности, при этом в качестве «динамической» переменной вместо «икса» выступает . Освежим наши знания: пределы с «иксом» называют пределами функций , а пределы с переменной «эн» – пределами числовых последовательностей . Очевидное отличие состоит в том, что переменная «эн» принимает дискретные (прерывные) натуральные значения: 1, 2, 3 и т.д. Но данный факт мало сказывается на методах решения пределов и способах раскрытия неопределенностей.
Докажем, что ряд из первого примера расходится.
Общий член ряда:
Вывод
: ряд расходится
Необходимый признак часто применяется в реальных практических заданиях:
Пример 6
В числителе и знаменателе у нас находятся многочлены. Тот, кто внимательно прочитал и осмыслил метод раскрытия неопределенности в статье Пределы. Примеры решений , наверняка уловил, что когда старшие степени числителя и знаменателя равны , тогда предел равен конечному числу .
Делим числитель и знаменатель на 
Исследуемый ряд расходится
, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.
Пример 7
Исследовать ряд на сходимость
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока
Итак, когда нам дан ЛЮБОЙ числовой ряд, в первую очередь проверяем (мысленно или на черновике): а стремится ли его общий член к нулю? Если не стремится – оформляем решение по образцу примеров № 6, 7 и даём ответ о том, что ряд расходится.
Какие типы очевидно расходящихся рядов мы рассмотрели? Сразу понятно, что расходятся ряды вроде или . Также расходятся ряды из примеров № 6, 7: когда в числителе и знаменателе находятся многочлены, и старшая степень числителя больше либо равна старшей степени знаменателя . Во всех этих случаях при решении и оформлении примеров мы используем необходимый признак сходимости ряда.
Почему признак называется необходимым ? Понимайте самым естественным образом: для того, чтобы ряд сходился, необходимо , чтобы его общий член стремился к нулю. И всё бы было отлично, но этого ещё не достаточно . Иными словами, если общий член ряда стремится к нулю, ТО ЭТО ЕЩЕ НЕ ЗНАЧИТ, что ряд сходится – он может, как сходиться, так и расходиться!
Знакомьтесь:
Данный ряд называется гармоническим рядом
. Пожалуйста, запомните! Среди числовых рядов он является прима-балериной. Точнее, балеруном =)
Легко заметить, что 
, НО. В теории математического анализа доказано, что гармонический ряд расходится
.
Также следует запомнить понятие обобщенного гармонического ряда:
1) Данный ряд расходится
при . Например, расходятся ряды , , .
2) Данный ряд сходится
при . Например, сходятся ряды , , . Еще раз подчеркиваю, что почти во всех практических заданиях нам совершенно не важно, чему равна сумма , например, ряда , важен сам факт его сходимости
.
Это элементарные факты из теории рядов, которые уже доказаны, и при решении какого-нибудь практического примера можно смело ссылаться, например, на расходимость ряда или сходимость ряда .
Вообще, рассматриваемый материал очень похож на исследование несобственных интегралов , и тому, кто изучал эту тему, будет легче. Ну а тому, кто не изучал – легче вдвойне:)
Итак, что делать, если общий член ряда СТРЕМИТСЯ к нулю? В таких случаях для решения примеров нужно использовать другие, достаточные признаки сходимости / расходимости:
Признаки сравнения для положительных числовых рядов
Заостряю ваше внимание , что здесь речь уже идёт только о положительных числовых рядах (с неотрицательными членами) .
Существуют два признака сравнения, один из них я буду называть просто признаком сравнения , другой – предельным признаком сравнения .
Сначала рассмотрим признак сравнения , а точнее, первую его часть:
Рассмотрим два положительных числовых ряда и . Если известно , что ряд – сходится , и, начиная с некоторого номера , выполнено неравенство , то ряд тоже сходится .
Иными словами: Из сходимости ряда с бОльшими членами следует сходимость ряда с меньшими членами . На практике неравенство часто выполнено вообще для всех значений :
Пример 8
Исследовать ряд на сходимость
Во-первых, проверяем
(мысленно либо на черновике) выполнение :
, а значит, «отделаться малой кровью» не удалось.
Заглядываем в «пачку» обобщенного гармонического ряда и, ориентируясь на старшую степень, находим похожий ряд: Из теории известно, что он сходится.
Для всех натуральных номеров справедливо очевидное неравенство:
а бОльшим знаменателям соответствуют мЕньшие дроби:
, значит, по признаку сравнения исследуемый ряд сходится
вместе с рядом .
Если у вас есть какие-то сомнения, то неравенство всегда можно расписать подробно!
Распишем построенное неравенство для нескольких номеров «эн»:
Если , то
Если , то
Если , то
Если , то
….
и теперь-то уж совершенно понятно, что неравенство 
выполнено для всех натуральных номеров «эн».
Проанализируем признак сравнения и решенный пример с неформальной точки зрения. Все-таки, почему ряд сходится? А вот почему. Если ряд сходится, то он имеет некоторую конечную
сумму : 
. И поскольку все члены ряда меньше
соответствующих членов ряда , то ясен пень, что сумма ряда не может быть больше числа , и тем более, не может равняться бесконечности!
Аналогично можно доказать сходимость «похожих» рядов: 
, , 
и т.д.
! Обратите внимание , что во всех случаях в знаменателях у нас находятся «плюсы». Наличие хотя бы одного минуса может серьёзно осложнить использование рассматриваемого признака сравнения . Например, если ряд таким же образом сравнить со сходящимся рядом (выпишите несколько неравенств для первых членов), то условие не будет выполняться вообще! Здесь можно извернуться и подобрать для сравнения другой сходящийся ряд, например, , но это повлечёт за собой лишние оговорки и другие ненужные трудности. Поэтому для доказательства сходимости ряда гораздо проще использовать предельный признак сравнения (см. следующий параграф).
Пример 9
Исследовать ряд на сходимость
И в этом примере я предлагаю вам самостоятельно рассмотреть вторую часть признака сравнения :
Если известно , что ряд – расходится , и, начиная с некоторого номера (часто с самого первого), выполнено неравенство , то ряд тоже расходится .
Иными словами: Из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимость ряда с бОльшими членами .
Что нужно сделать?
Нужно сравнить исследуемый ряд с расходящимся гармоническим рядом . Для лучшего понимания постройте несколько конкретных неравенств и убедитесь в справедливаости неравенства .
Решение и образец оформления в конце урока.
Как уже отмечалось, на практике только что рассмотренный признак сравнения применяют редко. Настоящей «рабочей лошадкой» числовых рядов является предельный признак сравнения , и по частоте использования с ним может конкурировать разве что признак Даламбера .
Предельный признак сравнения числовых положительных рядов
Рассмотрим два положительных числовых ряда и . Если предел отношения общих членов этих рядов равен конечному, отличному от нуля числу : , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно .
Когда применяется предельный признак сравнения? Предельный признак сравнения применяется тогда, когда «начинкой» ряда у нас являются многочлены. Либо один многочлен в знаменателе, либо многочлены и в числителе и в знаменателе. Опционально многочлены могут находиться под корнями.
Разделаемся с рядом, для которого забуксовал предыдущий признак сравнения.
Пример 10
Исследовать ряд на сходимость
Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения. Известно, что ряд – сходится. Если нам удастся показать, что равен конечному, отличному от нуля числу, то будет доказано, что ряд – тоже сходится.
Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый ряд сходится
вместе с рядом .
Почему для сравнения был выбран именно ряд ? Если бы мы выбрали любой другой ряд из «обоймы» обобщенного гармонического ряда, то у нас не получилось бы в пределе конечного, отличного от нуля числа (можете поэкспериментировать).
Примечание : когда мы используем предельный признак сравнения, не имеет значения , в каком порядке составлять отношение общих членов, в рассмотренном примере отношение можно было составить наоборот: – это не изменило бы сути дела.
На практике часто не столь важно найти сумму ряда, как ответить на вопрос о сходимости ряда. Для этой цели используются признаки сходимости, основанные на свойствах общего члена ряда.
Необходимый признак сходимости ряда
ТЕОРЕМА 1
Если
ряд
сходится, то его общий член
стремится к нулю при
,
т.е.
.
Кратко : если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю.
Доказательство.
Пусть ряд сходится и его сумма равна
.
Для любого
частичная сумма
.
Тогда .
Из
доказанного необходимого признака
сходимости вытекает достаточный
признак расходимости ряда:
если при
общий член ряда не стремится к нулю, то
ряд расходится.
Пример
4.
Для
этого ряда общий член
и
.
Следовательно, данный ряд расходится.
Пример
5.
Исследовать
на сходимость ряд
Очевидно,
что общий член этого ряда, вид которого
не указан ввиду громоздкости выражения,
стремится к нулю при
,
т.е. необходимый признак сходимости
ряда выполняется, однако этот ряд
расходится, так как его сумма
стремится к бесконечности.
Знакоположительные числовые ряды
Числовой ряд, все члены которого положительны, называется знакоположительным.
ТЕОРЕМА 2 (Критерий сходимости знакоположительного ряда)
Для сходимости знакоположительного ряда необходимо и достаточно, чтобы все его частичные суммы были ограничены сверху одним и тем же числом.
Доказательство.
Так как для любого
,
то,
т.е. последовательность
– монотонно возрастающая, поэтому для
существования предела необходимо и
достаточно ограничение последовательности
сверху каким-либо числом.
Эта теорема в большей степени имеет теоретическое, чем практическое значение. Далее приведены другие признаки сходимости, имеющие большее применение.
Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
ТЕОРЕМА 3 (Первый признак сравнения)
Пусть даны два знакоположительных ряда:
(1)
(2)
причем,
начиная с некоторого номера
,
для любого
выполняется неравенство
Тогда:
Схематическая запись первого признака сравнения:
сход.сход.
расх.расх.
Доказательство.
1) Так как отбрасывание конечного числа
членов ряда не влияет на его сходимость,
докажем теорему для случая
.
Пусть для любого
имеем
, (3)
где
и
-
соответственно частичные суммы рядов
(1) и (2).
Если
ряд (2) сходится, то существует число
.
Поскольку
при этом последовательность
- возрастающая, ее предел больше любого
из ее членов, т.е.
для
любого
.
Отсюда
из неравенства (3) следует
.
Таким
образом, все частичные суммы ряда (1)
ограничены сверху числом
.
Согласно
теореме 2 этот ряд сходится.
2) Действительно, если бы ряд (2) сходился, то по признаку сравнения сходился бы и ряд (1).
Для применения этого признака часто используют такие ряды-эталоны, сходимость или расходимость которых известна заранее, например:
3)
-
ряд
Дирихле (он сходится при
и расходится при
).
Кроме этого часто используют ряды, которые можно получить с помощью следующих очевидных неравенств:
,
,
,
.
Рассмотрим на конкретных примерах схему исследования знакоположительного ряда на сходимость с помощью первого признака сравнения.
Пример
6.
Исследовать
ряд
на сходимость.
Шаг
1. Проверим знакоположительность ряда:
для
Шаг
2. Проверим выполнение необходимого
признака сходимости ряда:
.
Так как
,
то
(если вычисление предела вызывает трудности, то этот шаг можно пропустить).
Шаг
3. Используем первый признак сравнения.
Для этого подберем для данного ряда
ряд-эталон. Так как
,
то в качестве эталона можно взять ряд
,
т.е. ряд Дирихле. Этот ряд сходится, так
как показатель степени
.
Следовательно, согласно первому признаку
сравнения сходится и исследуемый ряд.
Пример
7.
Исследовать ряд
на сходимость.
1)
Данный ряд знакоположительный, так как
для
2) Необходимый признак сходимости ряда выполняется, ибо
3)
Подберем ряд-эталон. Так как
,
то в качестве эталона можно взять
геометрический ряд
.
Этот ряд сходится, следовательно,
сходится и исследуемый ряд.
ТЕОРЕМА 4 (Второй признак сравнения)
Если
для знакоположительных рядов
и
существует отличный от нуля конечный
предел
,
то
ряды
сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство.
Пусть ряд (2) сходится; докажем, что тогда
сходится и ряд (1). Выберем какое-нибудь
число
,
большее,
чем
.
Из
условия
вытекает
существование такого номера
,
что для всех
справедливо неравенство
,
или,
что то же,
(4)
Отбросив
в рядах (1) и (2) первые
членов (что не влияет на сходимость),
можно считать, что неравенство (4)
справедливо для всех
Но ряд с общим членом
сходится
в силу сходимости ряда (2). Согласно
первому признаку сравнения, из неравенства
(4) следует сходимость ряда (1).
Пусть теперь сходится ряд (1); докажем сходимость ряда (2). Для этого следует просто поменять ролями заданные ряды. Так как
то, по доказанному выше, из сходимости ряда (1) должна следовать сходимость ряда (2).
Если
при
(необходимый признак сходимости), то из
условия
,
следует, что
и
– бесконечно малые одного порядка
малости (эквивалентные при
).
Следовательно, если дан ряд
,
где
при
,
то для этого ряда можно брать ряд-эталон
,
где общий член
имеет тот же порядок малости, что и общий
член данного ряда.
При
выборе ряда-эталона можно пользоваться
следующей таблицей эквивалентных
бесконечно малых при
:
1)
; 4)
;
2)
; 5)
;
3)
; 6)
.
Пример 8. Исследовать на сходимость ряд
.
для любого
.
Так
как
,
то возьмем в качестве ряда-эталона
гармонический расходящийся ряд
.
Поскольку предел отношения общих членов
и
конечен и отличен от нуля (он равен 1),
то на основании второго признака
сравнения данный ряд расходится.
Пример
9.
по двум признакам сравнения.
Данный
ряд знакоположительный, так как
,
и
.
Поскольку
,
то в качестве ряда-эталона можно брать
гармонический ряд
.
Этот ряд расходится и следовательно,
по первому признаку сравнения, исследуемый
ряд также расходится.
Так
как для данного ряда и ряда-эталона
выполняется условие
(здесь использован 1-й замечательный
предел), то на основании второго признака
сравнения ряд
– расходится.
ТЕОРЕМА 5 (Признак Даламбера)
существует конечный предел
,
то ряд сходится при
и расходится при
.
Доказательство.
Пусть
.
Возьмем какое-либо число
,
заключенное
между
и
1:
.
Из условия
следует,
что начиная с некоторого номера
выполняется
неравенство
;
;
(5)
Рассмотрим ряд
Согласно
(5) все члены ряда (6) не превосходят
соответствующих членов бесконечной
геометрической прогрессии
Поскольку
,
эта прогрессия является сходящейся.
Отсюда в силу первого признака сравнения
вытекает сходимость ряда
Случай
рассмотрите самостоятельно.
Замечания :
следует,
что остаток ряда
.
Признак Даламбера удобен на практике тогда, когда общий член ряда содержит показательную функцию или факториал.
Пример
10.
Исследовать на сходимость ряд
по признаку Даламбера.
Данный ряд знакоположительный и
.
(Здесь при вычислении дважды применено правило Лопиталя).
то по признаку Даламбера данный ряд сходится.
Пример
11.
.
Данный
ряд знакоположительный и
.
Поскольку
то данный ряд сходится.
ТЕОРЕМА 6 (Признак Коши)
Если
для знакоположительного ряда
существует
конечный предел
,
то при
ряд сходится, а при
ряд расходится.
Доказательство аналогично теореме 5.
Замечания :
Пример
12.
Исследовать
на сходимость ряд
.
Данный
ряд знакоположительный, так как
для любого
.
Поскольку вычисление предела
вызывает определенные трудности, то
проверку выполнимости необходимого
признака сходимости ряда опускаем.
то по признаку Коши данный ряд расходится.
ТЕОРЕМА 7 (Интегральный признак сходимости Маклорена - Коши)
Пусть дан ряд
члены которого положительны и не возрастают:
Пусть,
далее
-
функция, которая определена для всех
вещественных
,
непрерывна, не возрастает и
Популярное:
Новое
- 7 спутник от солнца. Солнечная система. Планеты солнечной системы. Особенности планет земной группы
- Видимый горизонт и его дальность
- Конспект открытого занятия по подготовке к обучению грамоте «Звуковой анализ слова «зонт
- Квантовый переход: наука и антинаука
- Знаки препинания в спп Когда не ставится запятая в сложносочиненном предложении
- Немецкая разведка против ссср Разведка фрг название
- Знаки препинания при прямой речи
- Склонение прилагательных
- Как менялись правила наследования престола в России
- "Дом с мезонином": история создания, критика, анализ произведения Дом с мезонином смысл названия
