Разделы сайта
Выбор редакции:
- Русская речь ушами иностранцев
- Стереометрия Определение перпендикулярности плоскостей
- Человек как биосоциальное существо
- Белая калитва - город с военной историей и красивой природой Численность населения в белой калитве
- Стивен Хокинг Краткая история времени
- Как вы относитесь ко лжи во благо
- Подробная теория с примерами (2020)
- 7 спутник от солнца. Солнечная система. Планеты солнечной системы. Особенности планет земной группы
- Видимый горизонт и его дальность
- Конспект открытого занятия по подготовке к обучению грамоте «Звуковой анализ слова «зонт
Реклама
Перпендикулярные плоскости, условие перпендикулярности плоскостей. Стереометрия Определение перпендикулярности плоскостей |
Определение. Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. Приведем без доказательства теоремы стереометрии, полезные для решения последующих метрических задач. 1. Признак перпендикулярности двух плоскостей: если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. 2. Если две плоскости, перпендикулярные третьей плоскости, пересекаются, то прямая их пересечения перпендикулярна третьей плоскости. 3. Для наклонной прямой, не являющейся перпендикуляром к плоскости, имеет место утверждение: через наклонную проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной плоскости. Последнее утверждение позволяет предложить следующий алгоритм построения плоскости, проходящей через наклонную АВ и перпендикулярную заданной плоскости Σ: 1) на АВ выбирается произвольная точка Е; 2) строится прямая t таким образом, что t " Е, t ^ h , t ^ f , где h Ì Σ, f Ì Σ (рис. 7.10), т.е. t ^ Σ. Плоскость (АВ,t) будет единственной плоскостью, перпендикулярной плоскости Σ. Заметим, что через прямую t ^ Σ проходит не одна плоскость, перпендикулярная Σ. Задача. Дана плоскость Σ(CD, MN), где CD // MN и прямая АВ (рис. 7.11). Построить на КЧ плоскость, проходящую через АВ и перпендикулярную плоскости Σ. Алгоритм проекционного решения задачи: 1) строятся линии уровня h(h 1 ,h 2) и f(f 1 ,f 2) в плоскости Σ, при этом h 2 // х, f 1 // х; 2) строятся проекции t 1 и t 2 прямой t таким образом, что t 2 " E 2 , t 2 ^ f 2 ; t 1 " E 1 , t 1 ^ h 1 , где Е Î АВ – произвольная точка. Плоскость (АВ, t) – решение задачи. Задача. Даны плоскости Σ(АВ, DC) и Δ(KL, PT), где AB Ç DC, KL // PT, а также точка Е. Построить плоскость, проходящую через точку Е и перпендикулярную обеим плоскостям Σ и Δ (рис. 9.9). Одно из возможных решений данной задачи состоит в следующем. Вначале строится линия пересечения заданных плоскостей t = Σ Ç Δ. Затем, на основании приведенных теорем стереометрии, строится плоскость, проходящая через точку Е и перпендикулярная линии t. Будучи единственной, эта плоскость представляет собой решение задачи. Возможен другой алгоритм решения данной задачи (см. рис. 9.8): 1) из данной точки Е опускается перпендикуляр а на плоскость Σ; 2) из точки Е опускает перпендикуляр b на плоскость Δ. Плоскость (a, b), где a Ç b = E, есть решение задачи. Рассмотрим реализацию этого алгоритма на КЧ (см. рис. 9.9). 1. В плоскости Σ построим линии уровня h 1 (h 1 1 , h 1 2) и f 1 (f 1 1 , f 1 2) . При этом h 1 2 // x; f 1 1 // x. 2. В плоскости Δ построим линии уровня h 2 (h 2 1 , h 2 2) и f 2 (f 2 1 , f 2 2) . При этом h 2 2 // х; f 2 1 //х. 3. Из точки Е опускаются два перпендикуляра: а ^ Σ, b ^ Δ. При этом а 2 ^ f 1 2 , а 1 ^h 1 1 ; b 2 ^ f 2 2 , b 1 ^ h 2 1 . Две прямые а и b, пересекающиеся в точке Е, определяют искомую плоскость, т.е. плоскость, перпендикулярную заданным плоскостям Σ и Δ. Понятие перпендикулярных плоскостей При пересечении двух плоскостей у нас получается $4$ двугранных угла. Два угла равны $\varphi $, а два другие равны ${180}^0-\varphi $. Определение 1 Углом между плоскостями называется минимальный из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Определение 2 Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между этими плоскостями равен $90^\circ$ (рис. 1). Рисунок 1. Перпендикулярные плоскости Признак перпендикулярности двух плоскостейТеорема 1 Если прямая плоскости перпендикулярна другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны друг другу. Доказательство. Пусть нам даны плоскости $\alpha $ и $\beta $, которые пересекаются по прямой $AC$. Пусть прямая $AB$, лежащая в плоскости $\alpha $ перпендикулярна плоскости $\beta $ (рис. 2). Рисунок 2. Так как прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $\beta $, то она перпендикулярна и прямой $AC$. Проведем дополнительно прямую $AD$ в плоскости $\beta $, перпендикулярно прямой $AC$. Получаем, что угол $BAD$ - линейный угол двугранного угла, равный $90^\circ$. То есть, по определению 1, угол между плоскостями равен $90^\circ$, значит, данные плоскости перпендикулярны. Теорема доказана. Из этой теоремы следует следующая теорема. Теорема 2 Если плоскость перпендикулярна прямой, по которой пересекаются две другие плоскости, то она перпендикулярна и этим плоскостям. Доказательство. Пусть нам даны две плоскости $\alpha $ и $\beta $, пересекающиеся по прямой $c$. Плоскость $\gamma $ перпендикулярна прямой $c$ (рис. 3) Рисунок 3. Так как прямая $c$ принадлежит плоскости $\alpha $ и плоскость $\gamma $ перпендикулярна прямой $c$, то, по теореме 1, плоскости $\alpha $ и $\gamma $ перпендикулярны. Так как прямая $c$ принадлежит плоскости $\beta $ и плоскость $\gamma $ перпендикулярна прямой $c$, то, по теореме 1, плоскости $\beta $ и $\gamma $ перпендикулярны. Теорема доказана. Для каждой из этих теорем справедливы и обратные утверждения. Примеры задачПример 1 Пусть нам дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найти все пары перпендикулярных плоскостей (рис. 5). Рисунок 4. Решение. По определению прямоугольного параллелепипеда и перпендикулярных плоскостей видим следующие восемь пар перпендикулярных между собой плоскостей: $(ABB_1)$ и $(ADD_1)$, $(ABB_1)$ и $(A_1B_1C_1)$, $(ABB_1)$ и $(BCC_1)$, $(ABB_1)$ и $(ABC)$, $(DCC_1)$ и $(ADD_1)$, $(DCC_1)$ и $(A_1B_1C_1)$, $(DCC_1)$ и $(BCC_1)$, $(DCC_1)$ и $(ABC)$. Пример 2 Пусть нам даны две взаимно перпендикулярные плоскости. Из точки одной плоскости проведен перпендикуляр к другой плоскости. Доказать, что эта прямая лежит в данной плоскости. Доказательство. Пусть нам даны перпендикулярные плоскости $\alpha $ и $\beta $, пересекающиеся по прямой $c$. Из точки $A$ плоскости $\beta $ проведен перпендикуляр $AC$ к плоскости $\alpha $. Предположим, что $AC$ не лежит в плоскости $\beta $ (рис. 6). Рисунок 5. Рассмотрим треугольник $ABC$. Он является прямоугольным с прямым углом $ACB$. Следовательно, $\angle ABC\ne {90}^0$. Но, с другой стороны, $\angle ABC$ является линейным углом двугранного угла, образованного этими плоскостями. То есть двугранный угол, образованный этими плоскостями не равняется 90 градусам. Получаем, что угол между плоскостями не равен $90^\circ$. Противоречие. Следовательно, $AC$ лежит в плоскости $\beta $. Ðассматривается отношение перпендикулярности плоскостей - одно из важнейших и наиболее используемых в геометрии пространства и ее приложениях. Из всего разнообразия взаимного расположения двух плоскостей особого внимания и изучения заслуживает то, при котором плоскости перпендикулярны друг другу (например, плоскости смежных стен комнаты, забора и участка земли, двери и пола и т. п. (рис. 417, а–в). Приведенные примеры позволяют увидеть одно из основных свойств отношения, которое мы будем изучать, - симметричность расположения каждой из плоскостей относительно другой. Симметрия обеспечивается тем, что плоскости вроде бы «сотканы» из перпендикуляров. Попробуем уточнить эти наблюдения. Пусть имеем плоскость α и прямую с на ней (рис. 418, а). Проведем через каждую точку прямойс прямые, перпендикулярные плоскости α. Все эти прямые параллельны между собой (почему?) и составляют, на основании задачи 1 § 8, некоторую плоскость β (рис. 418, б). Естественно назвать плоскость βперпендикуляр ной плоскости α. В свою очередь, все прямые, лежащие в плоскости α и перпен- дикулярные прямойс , образуют плоскость α и перпендикулярны плоскости β (рис. 418, в). Действительно, еслиа - произвольная такая прямая, то она пересекает прямуюс в некоторой точкеМ . Через точкуМ проходит в плоскости β перпендикулярная α пря- маяb , поэтомуb а . Следовательно,а с, а b , поэтомуа β. Таким образом, плоскость α перпендикулярна плоскости β, а пря- маяс является линией их пересечения. Две плоскости называются перпендикулярными, если каждая из них образована прямыми, перпенди кулярными второй плоскости и проходящими через точки пересечения этих плоскостей. Перпендикулярностьплоскостейαиβобоз- начается привычным уже знаком: α β. Одну из иллюстраций этого определения можно представить, если рассмотреть фраг- мент комнаты дачного домика (рис. 419). В нем пол и стена сложены из досок, перпен- дикулярных соотвественно стене и полу. По- этому они перпендикулярны. На практике это означает, что пол горизонтален, а стена вертикальна. Приведенное определение трудно использовать при фактичес- кой проверке перпендикулярности плоскостей. Но если внима- тельно проанализировать рассуждения, которые привели к этому определению, то видим, что перпендикулярность плоскостей α и β обеспечило наличие в плоскости β прямойb , перпендикулярной плоскости α (рис. 418, в). Мы пришли к признаку перпендику- лярности двух плоскостей, который чаще всего применяется на практике. 406 Перпендикулярность прямых и плоскостей Теорема 1 (признак перпендикулярности плоскостей). Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную второй плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Пусть плоскость β проходит через прямуюb , перпендику- лярную плоскости α ис - линия пересечения плоскостей α и β (рис. 420, а). Все прямые плоскости β, параллельные прямойb и пересекающие прямуюс , вместе с прямойb образуют плоскость β. По теореме о двух параллельных прямых, одна из которых пер- пендикулярна плоскости (теорема 1 § 19), все они вместе с прямойb перпендикулярны плоскости α. То есть плоскость β состоит из прямых, проходящих через линию пересечения плоскостей α и β и перпендикулярных плоскости α (рис. 420, б). Теперь в плоскости α через точку А пересечения прямыхb ис проведем прямуюа , перпендикулярную прямойс (рис. 420, в). Прямаяа перпендикулярна плоскости β, по признаку перпен- дикулярности прямой и плоскости (а с , по построению,а b , так какb α). Повторив предыдущие рассуждения, получим, что плоскость α состоит из прямых, перпендикулярных плоскости β, проходящих через линию пересечения плоскостей. Согласно оп- ределению, плоскости α и β перпендикулярны.■ Приведенный признак дает возможность устанавливать пер- пендикулярность плоскостей или же обеспечивать ее. П р и м е р 1 . Прикрепить щит к столбу так, чтобы он был распо- ложен вертикально. Если столб стоит вертикально, то достаточно приложить произвольно щит к столбу и закрепить его (рис. 421, а). Согласно рассмотренному выше признаку, плоскость щита будет перпенди- кулярна поверхности земли. В этом случае задача имеет беско- нечное множество решений.
Если же столб стоит наклонно к земле, то достаточно к столбу прикрепить вертикальную рейку (рис. 421, б), а затем щит при- крепить и к рейке, и к столбу. В этом случае положение щита бу- дет вполне определённым, поскольку столб и рейка определяют единственную плоскость.■ В предыдущем примере «техническое» задание свелось к мате- матической задаче о проведении через данную прямую плоскос- ти, перпендикулярной другой плоскости. П р и м е р 2 . Из вершиныA квадратаABCD проведен перпен- дикулярный его плоскости отрезокAK, AB = AK = а. 1) Определить взаимное расположение плоскостей AKC иABD , AKD и ABK. 2) Построить плоскость, проходящую через прямую BD перпенди- кулярно плоскостиABC. 3) Провести через середину F отрезкаKC плоскость, перпендику- лярную плоскостиKAC . 4) Найти площадь треугольника BDF. Построим рисунок, соответствующий условию примера (рис. 422). 1) Плоскости AKC иABD перпендикуляр- ны, по признаку перпендикулярности плос- костей (теорема 1):AK ABD , по условию. ПлоскостиAKD иABK также перпендику- лярны, по признаку перпендикулярности плоскостей (теорема 1). Действительно, прямаяAB , через кото- рую проходит плоскостьABK , перпендикулярна плоскостиAKD , по признаку перпендикулярности прямой и плоскости (теорема 1 § 18):AВ AD , как смежные стороны квадрата;AВ AK , так как AK ABD. 2) По признаку перпендикулярности плоскостей, для искомого построениядостаточночерезнекоторуюточкупрямойBD провести 408 Перпендикулярность прямых и плоскостей прямую, перпендикулярную плоскости ABC. А для этого достаточ- но через эту точку провести прямую, параллельную прямойAK. Действительно, по условию, прямая AK перпендикулярна плос- костиABC и потому, согласно теореме о двух параллельных пря-
Теорема 2 (о перпендикуляре к линии пересечения перпенди- кулярных плоскостей). Если две плоскости перпендикулярны, то прямая, принадлежащая одной плоскости и перпендикулярная линии пересечения этих плоскостей, перпендикулярна второй плоскости. Пусть перпендикулярные плоскости α и β пересекаются по прямой с, а прямаяb в плоскости β перпендикулярна прямойс и пересекает ее в точкеВ (рис. 425). По опре- делению перпендикулярности плоскостей, в плоскости β через точку В проходит прямая b 1 ,перпендикулярная плоскости α. Понятно, что она перпендикулярна прямойс . Но че- рез точку прямой в плоскости можно провес- ти лишь одну прямую, перпендикулярную данной прямой. Поэтому прямые b иb 1 совпадают. А это означает, что прямая одной плоскос- ти, перпендикулярная линии пересечения двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна второй плоскости. ■ Применим рассмотренную теорему к обоснованию еще одного признака перпендикулярности плоскостей, важного с точки зре- ния последующего изучения взаимного расположения двух плос- костей. Пустьплоскостиαиβперпендикулярны, прямая с - линия их пересечения. Через произвольную точкуА прямойс проведем в плоскостях α и β прямые а иb, перпен- дикулярные прямойс (рис. 426). По теоре- ме 2, прямые а иb перпендикулярны соот- ветственно плоскостям β и α, поэтому они перпендикулярны между собой:а b . Пря- мые а иb определяют некоторую плоскость γ. Линия пересеченияс плоскостей α и β перпендикулярна плоскости γ, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости (теорема 1 § 18): с а , с b , а γ, b γ. Если учесть произвольность выбора точкиА на прямойс и тот факт, что через точкуА прямойс проходит единственная плоскость, ей перпендикулярная, то можно сделать следующий вывод. Теорема 3 (о плоскости, перпендикулярной линии пересече- ния перпендикулярных плоскостей). Плоскость, перпендикулярная линии пересечения двух перпендикулярных плоскостей, пересекает эти плоскости по перпендикулярным прямым. Таким образом, установлено еще одно свойство перпендику- лярных плоскостей. Это свойство является характеристическим, то есть если оно справедливо для некоторых двух плоскостей, то плоскости перпендикулярны между собой. Имеем еще один при- знак перпендикулярности плоскостей. Теорема 4 (второй признак перпендикулярности плоскос- тей). Если прямые пересечения двух плоскостей третьей плоскостью, перпендикулярной линии их пересечения, перпендикулярны, то данные плоскости тоже перпендикулярны. Пусть плоскости α и β пересекаются по прямойс , и плоскость γ, перпендикулярная прямойс , пересекает плоскости α и β соот- ветственно по прямым а иb (рис. 427). По условию,а b . Поскольку γс , тоа с. А поэтому прямаяа перпендикулярна плос- кости β, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости (теорема 1 § 18). Отсю- да вытекает, что плоскости α и β перпенди- кулярны, по признаку перпендикулярнос- ти плоскостей (теорема 1).■ Заслуживают внимания и теоремы о связях перпендикуляр- ности двух плоскостей третьей плоскости с их взаимным распо- ложением. Теорема 5 (о линии пересечения двух плоскостей, перпендику- лярных третьей плоскости). Если две плоскости, перпендикулярные третьей плоскости, пересекаются, то линия их пересечения перпендикулярна этой плоскости. Пусть плоскости α и β, перпендикулярные плоскости γ, пере- секаются по прямойа (a || γ), иА - точка пересечения прямойа с
Рассмотрим теорему, описывающую связь между параллель- ностью и перпендикулярностью плоскостей. Соответствующий ре- зультат мы уже имели для прямых и плоскостей. Теорема 6 (о параллельных плоскостях, перпендикулярных третьей плоскости). Если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна третьей, то и вторая плоскость перпендикулярна ей. Пусть плоскости α и β парал- лельны, а плоскость γ перпендикуляр- на плоскости α. Поскольку плоскость γ пересекает плоскость α, то она должна пересекать и параллельную ей плос- кость β. Возьмем в плоскости α про- извольную прямую m , перпендику- лярную плоскости γ, и проведем через нее, а также через произвольную точ- ку плоскости β, плоскость δ (рис. 429). Плоскости δ и β пересекаются по прямой п, а поскольку α║ β, тот ║ п (теорема 2 §18). Из теоремы 1 вытекает, чтоп γ, а потому перпендикулярной плоскости γ будет и плоскость β, проходящая через прямуюп. ■ Доказанная теорема дает еще один признак перпендикуляр- ности плоскостей. Через заданную точку провести плоскость, перпендикулярную данной, можно с помощью признака перпендикулярности плоскос- тей (теорема 1). Достаточно через эту точку провести прямую, пер- пендикулярную данной плоскости (см. задачу 1 § 19). А затем через построеннуюпрямуюпровестиплоскость.Онабудетперпендикуляр- ной данной плоскости по указанному признаку. Понятно, что таких плоскостей можно провести бесконечное множество. Более содержательной является задача о построении плоскос- ти, перпендикулярной данной, при условии, что она проходит че- рез данную прямую. Понятно, что если данная прямая перпенди- кулярна данной плоскости, то таких плоскостей можно построить бесконечное множество. Осталось рассмотреть случай, когда дан- ная прямая не перпендикулярна данной плоскости. Возможность такого построения обоснована на уровне физических моделей прямых и плоскостей в примере 1. З а д а ч а 1 . Доказать, что через произвольную прямую, не пер- пендикулярную плоскости, можно провести плоскость, перпенди- кулярную данной плоскости. Пусть даны плоскость α и прямаяl , l B\ a. Возьмём на прямойl произвольную точкуМ и проведем через нее прямуют, перпен- дикулярную плоскости α (рис. 430, а). Поскольку, по условию,l не перпендикулярна α, то прямыеl ит пересекаются. Через эти прямые можно провести плоскость β (рис. 430, б), которая, соглас- но признаку перпендикулярности плоскостей (теорема 1), будет перпендикулярной плоскости α. ■ П р и м е р 3 . Через вершинуА правильной пирамидыSABC с основаниемABC провести прямую, перпендикулярную плоскости боковой граниSBC. Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о пер- пендикуляре к линии пересечения перпендикулярных плоскостей (теорема 2). Пусть K - середина ребраBC (рис. 431). ПлоскостиAKS иBCS перпенди- кулярны, по признаку перпендикулярнос- ти плоскостей (теорема 1). Действительно,ВС SK иВС АK , как медианы, проведен- ные к основаниям в равнобедренных тре угольниках. Поэтому, по признаку перпенди- кулярности прямой и плоскости (теорема 1 §18), прямаяВС перпендикулярна плоскостиAKS. ПлоскостьBCS проходит через прямую, перпендикулярную плоскостиAKS. Построение. Проведем в плоскостиAKS из точкиA прямуюAL , перпендикулярную прямойKS - линии пересечения плоскостейAKS иBCS (рис. 432). По теореме о перпен- дикуляре к линии пересечения перпендику- лярных плоскостей (теорема 2), прямаяAL перпендикулярна плоскостиBCS. ■
2. На рис. 434 изображена правиль - ная четырехугольная пирамида SABCD, точки P, M, N -середи - ны рёбер AB, BC, BS, O -центр основания ABCD.Какие из пар плос - костей перпендикулярны: 1) ACS и BDS;2) MOSи POS; 3) COS и MNP; 4) MNPи SOB; 5) CND и ABS?
3) PACи PBC; 4) PACи PAB? 4. Две плоскости перпендикулярны. Можно ли через произвольную точку одной из них провести прямую в этой плоскости, второй плоскости? 5. В плоскости α нельзя провести прямую, плоскости β. Могут ли эти плоскости быть ми? 6. Через некоторую точку плоскости α проходит щая в этой плоскости и перпендикулярная плоскости ли, что плоскости α и β перпендикулярны? Секция забора прикреплена к вертикальному столбу ли утверждать, что плоскость забора вертикальна? Как к рейке, параллельной поверхности земли, прикрепить вертикально щит? Почему поверхность дверей, независимо от того, закрыты они или открыты, располагается вертикально к полу? Почему отвес плотно прилегает к вертикальной стене, а к на- клонной - не обязательно? Можно ли к наклонному столбу прикрепить щит так, чтобы он был перпендикулярен поверхности земли? Как на практике установить, перпендикулярна ли плоскость стены плоскости пола? перпендикулярнуюперпендикулярнуюперпендикулярны - прямая, лежа - β. Верно 7. . Можно 8.9.10.11.12. Графические упражнения 1. На рис. 436 изображен куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . 1) Укажите плоскости, перпендикулярные плоскости ВDD 1 . 2) Как расположены плоскости и A1 B1 CAB 1 C 1
421. ОтрезокOS проведен из центраО квадратаABCD перпен- дикулярно его плоскости. 1°) Определите взаимное расположение плоскостей ACS и АВС. 2°) Определите взаимное расположение плоскостей ACS и BDS . 3) Постройте плоскость, проходящую через прямую OS пер- пендикулярно плоскостиABS. 4) Постройте плоскость, перпендикулярную плоскости АВС и проходящую через середины сторонAD иCD. 422. Из точки пересеченияO диагоналей ромбаABCD проведен перпендикулярный плоскости ромба отрезокOS ;AB = DB = 1°) Определите взаимное расположение плоскостей SDB и ABC, SDBи ACS. 2°) Постройте плоскость, проходящую через прямую BC пер- пендикулярно плоскостиABD. 3) Проведите через середину F отрезкаCS плоскость, пер- пендикулярную плоскостиАВС. 4) Найдите площадь треугольника BDF. 423. Дан куб ABCDA1 B1 C1 D1 . 1°) Определите взаимное расположение плоскостей АВ 1 С 1 и CDD1 . 2°) Определите взаимное расположение плоскостей АВ 1 С 1 и CD1 A1 . 3°) Постройте плоскость, проходящую через точку А перпен- дикулярно плоскостиBB 1 D 1 . 4) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через се- редины рёберА 1 D 1 иB 1 C 1 перпендикулярно плоскостиАВС. 5)ОпределитевзаимноерасположениеплоскостиАА 1 В иплос- кости, проходящей через середины рёберА 1 В 1 , C 1 D 1 , CD. 6) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через ребро ВВ 1 и середину ребраA 1 D 1 (ВВ 1 = а ). 7) Постройте точку, симметричную точке А относительно плоскостиA 1 B 1 C. 424. В правильном тетраэдреАBCD с ребром 2 см точкаМ - се- рединаDВ , а точкаN - серединаАС. 1°) Докажите, что прямая DВ перпендикулярна плоскости 2°) Докажите, что плоскость ВDМ перпендикулярна плос- костиАМС. 3) Через точку О пересечения медиан треугольникаАDС проведите прямую, перпендикулярную плоскостиАМС. 4) Найдите длину отрезка этой прямой внутри тетраэдра. 5) В каком отношении плоскость АМС делит этот отрезок? 425. Два равносторонних треугольникаАВС иADC лежат в пер- пендикулярных плоскостях. 1°) Найдите длину отрезка BD, еслиAC = 1 см. 2) Докажите, что плоскость BKD (K лежит на прямойAC ) перпендикулярна плоскости каждого из треугольников тог- да и только тогда, когдаK является серединой стороныAC. 426. ПрямоугольникABCD, стороны которого 3 см и 4 см, пере- гнули по диагоналиAC так, что треугольникиABC иADC расположились в перпендикулярных плоскостях. Опреде- лите расстояние между точкамиB иD после того, как пере- гнули прямоугольникABCD. 427. Через данную точку проведите плоскость, перпендикуляр- ную каждой из двух данных плоскостей. 428°. Докажите, что плоскости смежных граней куба перпендику- лярны. 429. Плоскости α и β перпендикулярны между собой. Из точкиА плоскости α проведена перпендикулярная плоскости β пря- маяАВ. Докажите, что прямаяАВ лежит в плоскости α. 430. Докажите, что если плоскость и прямая, не лежащая в этой плоскости, перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны между собой. 431. Через точкиА иВ , лежащие на линии пересеченияр пер- пендикулярных между собой плоскостей α и β, проведены перпендикулярныер прямые:АА 1 в α, ВВ 1 в β. ТочкаX ле- жит на прямойАА 1 , а точкаY - наВB 1 . Докажите, что пря- маяВB 1 перпендикулярна прямойВХ , а прямаяАA 1 пер- пендикулярна прямойАY. 432*. Через середину каждой стороны треугольника проведена плоскость, перпендикулярная этой стороне. Докажите, что все три проведенные плоскости пересекаются по одной пря- мой, перпендикулярной плоскости треугольника. Упражнения для повторения 433. В равностороннем треугольнике со стороной b определите: 1) высоту; 2) радиусы вписанной и описанной окружностей. 434. Из одной точки проведен к данной прямой перпендикуляр и две наклонные. Определите длину перпендикуляра, если наклонные равны 41 см и 50 см, а их проекции на данную прямую относятся, как 3: 10. 435. Определите катеты прямоугольного треугольника, если бис - сектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки 15 см и Основное определение Две плоскости называ- ются перпендикуляр ными, если каждая из них образована прямы - ми, перпендикулярны - ми второй плоскости и проходящими через точки пересечения этих плоскостей.
Напомним, что плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними прямой. А угол этот определяется так. Берут точку О на прямой С, по которой пересекаются плоскости , и проводят через нее в плоскостях прямые (рис. 1.9а). Углом между а и b и измеряется угол между . Когда этот угол прямой, то говорят, что плоскости взаимно перпендикулярны и пишут Вы, конечно, уже заметили, что когда , то из трех прямых а, b, с любые две взаимно перпендикулярны (рис. 2.28). В частности, . Поэтому (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). Аналогично, Итак, каждая из двух взаимно перпендикулярных плоскостей содержит перпендикуляр к другой плоскости. Более того, эти перпендикуляры заполняют взаимно перпендикулярные плоскости. (рис. 2.29). Докажем последнее утверждение. Действительно, если через любую точку плоскости а провести прямую То (по теореме 5 о параллельности перпендикуляров). А для признака перпендикулярности плоскостей достаточно одного перпендикуляра к плоскости. Теорема 7. (признак перпендикулярности плоскостей). Если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости взаимно перпендикулярны. Пусть плоскость а содержит прямую а, перпендикулярную плоскости Р (рис. 2.28). Тогда прямая а пересекает плоскость Р в точке О. Точка О лежит на прямой С, по которой пересекаются . Проведем в плоскости Р через точку О прямую . Так как и b лежит в плоскости Р, то Следовательно, Данный признак имеет простой практический смысл: плоскость двери, навешенной на перпендикулярный полу косяк, перпендикулярна плоскости пола при любых положениях двери (рис. 2.1). Другое практическое применение этого признака: когда требуется проверить, вертикально ли установлена плоская поверхность (стена, забор и т. п.), то это делают с помощью отвеса - веревки с грузом. Отвес всегда направлен вертикально, и стена стоит вертикально, если в любом ее месте отвес, располагаясь вдоль нее, не отклоняется. При решении задач, в которых встречаются перпендикулярные плоскости, часто используются следующие три предложения. Предложение 1. Прямая, лежащая в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная их общей прямой, перпендикулярна другой плоскости. Пусть плоскости взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой С. Пусть, далее, прямая а лежит в плоскости а и (рис. 2.28). Прямая а пересекает прямую С в некоторой точке О. Проведем через точку О в плоскости Р прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как то . Поскольку , то (по теореме 2). Второе предложение обратно первому. Предложение 2. Прямая, имеющая общую точку с одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная другой плоскости, лежит в первой из них. Пусть плоскости взаимно перпендикулярны, прямая а также прямая а имеет с плоскостью а общую точку А (рис. 2.30). Через точку А в плоскости а проведем прямую перпендикулярную прямой С - линии пересечения плоскостей . Согласно предложению Поскольку в пространстве через каждую точку проходит лишь одна прямая, перпендикулярная данной плоскости, то прямые а и совпадают. Так как лежит в плоскости а, то и а лежит в плоскости Предложение 3. Если две плоскости, перпендикулярные третьей плоскости, пересекаются, то прямая их пересечения перпендикулярна третьей плоскости. Пусть две плоскости , пересекающиеся по прямой а, перпендикулярны плоскости у (рис. 2.31). Тогда через любую точку прямой а проведем прямую, перпендикулярную плоскости у. Согласно предложению 2, эта прямая лежит и в плоскости а, и в плоскости Р, т. е. совпадает с прямой а. Итак, Данный урок поможет желающим получить представление о теме «Признак перпендикулярности двух плоскостей». В начале него мы повторим определение двугранного и линейного угла. Затем рассмотрим, какие плоскости называются перпендикулярными, и докажем признак перпендикулярности двух плоскостей. Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей Урок: Признак перпендикулярности двух плоскостей Определение. Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями, не принадлежащими одной плоскости, и их общей прямой а (а - ребро). Рис. 1 Рассмотрим две полуплоскости α и β (рис. 1). Их общая граница - l. Указанная фигура называется двугранным углом. Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром. Двугранный угол измеряется своим линейным углом. На общем ребре l двугранного угла выберем произвольную точку. В полуплоскостях α и β из этой точки проведем перпендикуляры a и b к прямой l и получим линейный угол двугранного угла. Прямые a и b образуют четыре угла, равных φ, 180° - φ, φ, 180° - φ. Напомним, углом между прямыми называется наименьший из этих углов. Определение. Углом между плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных этими плоскостями. φ - угол между плоскостями α и β, если Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90°. Рис. 2 На ребре l выбрана произвольная точка М (рис. 2). Проведем две перпендикулярные прямые МА = а и МВ = b к ребру l в плоскости α и в плоскости β соответственно. Получили угол АМВ. Угол АМВ - это линейный угол двугранного угла. Если угол АМВ равен 90°, то плоскости α и β называются перпендикулярными. Прямая b перпендикулярна прямой l по построению. Прямая b перпендикулярна прямой а, так как угол между плоскостями α и β равен 90°. Получаем, что прямая b перпендикулярна двум пересекающимся прямым а и l из плоскости α. Значит, прямая b перпендикулярна плоскости α. Аналогично можно доказать, что прямая а перпендикулярна плоскости β. Прямая а перпендикулярна прямой l по построению. Прямая а перпендикулярна прямой b, так как угол между плоскостями α и β равен 90°. Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым b и l из плоскости β. Значит, прямая а перпендикулярна плоскости β. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны. Доказать: Рис. 3 Доказательство: Пусть плоскости α и β пересекаются по прямой АС (рис. 3). Чтобы доказать, что плоскости взаимно перпендикулярны, нужно построить линейный угол между ними и показать, что этот угол равен 90°. Прямая АВ перпендикулярна по условию плоскости β, а значит, и прямой АС, лежащей в плоскости β. Проведем прямую АD перпендикулярно прямой АС в плоскости β. Тогда ВАD -линейный угол двугранного угла. Прямая АВ перпендикулярна плоскости β, а значит, и прямой АD, лежащей в плоскости β. Значит, линейный угол ВАD равен 90°. Значит, плоскости α и β перпендикулярны, что и требовалось доказать. Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей (рис. 4). Доказать: Рис. 4 Доказательство: Прямая l перпендикулярна плоскости γ, а плоскость α проходит через прямую l. Значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости α и γ перпендикулярны. Прямая l перпендикулярна плоскости γ, а плоскость β проходит через прямую l. Значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости β и γ перпендикулярны. |
Читайте: |
---|
Популярное:
Новое
- Стереометрия Определение перпендикулярности плоскостей
- Человек как биосоциальное существо
- Белая калитва - город с военной историей и красивой природой Численность населения в белой калитве
- Стивен Хокинг Краткая история времени
- Как вы относитесь ко лжи во благо
- Подробная теория с примерами (2020)
- 7 спутник от солнца. Солнечная система. Планеты солнечной системы. Особенности планет земной группы
- Видимый горизонт и его дальность
- Конспект открытого занятия по подготовке к обучению грамоте «Звуковой анализ слова «зонт
- Квантовый переход: наука и антинаука