Разделы сайта
Выбор редакции:
- Условия равновесия твердого тела
- Задачи на разрезание и перекраивание фигур
- Процессы жизнедеятельности как пример необратимых процессов
- Константин Сперанский «Кто знает, о чем думает Амалия?
- Ассоциации к слову «Звук Ассоциация к слову звук фон звучание буква
- Предсказания рэя брэдбери, которые сбылись Предсказания Рэя Брэдбери
- Анализ причин и реалистический сценарий Чернобыльской аварии (16 фото)
- Древние пирамиды на Луне, постройки аннунаков Сооружения на луне
- Виды и размер стипендий студентам в россии
- Великий князь Алексей Александрович: биография Плавание по миру
Реклама
Как разделить фигуру на две равные части. Задачи на разрезание и перекраивание фигур. Разбиение на клетчатой бумаге |
Разбиение на клетчатой бумаге. Это фактически упрощенный вариант игры Катамино, требующий только клетчатой бумаги и карандаша. Такие задачи часто встречаются в учебных пособиях и заданиях олимпиад для младших школьников. Нужно разделить нарисованную по клеточкам фигуру на заданное количество одинаковых частей. Эти задачи годятся для очень широкого возрастного диапазона, начиная лет с трех-четырех. Но не стоит ими злоупотреблять - они в конце концов надоедают. Скорее всего, стоит остановиться на сложности 4-5 частей по 4-5 клеток в каждой. Уровень 1. Рис. 1: Разделить по линиям сетки (по клеточкам) на 2 равные части. Рис. 2: Разделить по линиям сетки на 3 равные части. Вашим детям может потребоваться больше простых задач. Их очень легко составлять: нужно просто идти "от ответа" , т.е. взять клетчатую бумагу, выбрать форму фигурки ("части") из нескольких клеточек и нарисовать несколько таких фигурок рядом, "слепив" их между собой. (Хорошо бы при этом не путать фигурки с их зеркальными отражениями.) Не беда, если окажется, что задачка имеет два или более решения -значит, нужно найти хотя бы одно (или все). Контур получившегося у Вас "монстра" перерисуйте на чистый лист клетчатой бумаги - задача готова. Уровень 2. Рис. 3: Разделить по клеточкам на 2 равные части
так, чтобы в каждой из них был один Рис. 4: Разделить по линиям сетки на 3 равные части. Рис. 5: Разделить по линиям сетки на 4 равные части. Уровень 3. Рис. 6: Разделить на 4 равные части. 29 апреля 2013 в 16:34Разрезание на две равные части, часть первая
Задачи на разрезание - это та область математики, где, как говорится, мамонт не валялся. Множество отдельных проблем, но по сути нет общей теории. Помимо всем известной теоремы Бойяи-Гервина , других фундаментальных результатов в этой области практически нет. Неопределённость - вечный спутник задач на разрезание. Мы можем, например, разрезать правильный пятиугольник на шесть частей, из которых можно сложить квадрат; однако мы не можем доказать, что пяти частей для этого было бы недостаточно. С помощью хитрой эвристики, воображения и поллитры нам порой удаётся найти конкретное решение, но, как правило, мы не обладаем подходящим инструментарием, чтобы доказать минимальность этого решения или же его несуществование (последнее, разумеется, относится к случаю, когда мы решение не нашли). Это печально и несправедливо. И как-то раз я взял чистую тетрадку и решил восстановить справедливость в масштабах одной конкретной задачи: разрезания плоской фигуры на две равных (конгруэнтных) части. В рамках этого цикла статей (их, кстати, будет три) мы с вами, камрады, рассмотрим вот этот забавный многоугольник, изображённый ниже, и попытаемся беспристрастно разобраться, можно ли разрезать его на две равных фигуры, или же таки нет. ВведениеДля начала освежим школьный курс геометрии и вспомним, что такое равные фигуры. Яндекс услужливо подсказывает:Две фигуры на плоскости называются равными, если существует движение, взаимно однозначно переводящее одну фигуру в другую. Теперь расспросим Википедию про движения. Она расскажет нам, во-первых, что движение - это преобразование плоскости, которое сохраняет расстояния между точками. Во-вторых, там даже приведена классификация движений на плоскости. Все они относятся к одному из следующих трёх типов:
Введём некоторые обозначения. Разрезаемую фигуру мы будем называть фигурой A, а две гипотетеческих равных фигуры, на которые мы будто бы можем её разрезать, обзовём B и C соответственно. Часть плоскости, не занятую фигурой A, мы назовём областью D. В тех случаях, когда в качестве разрезаемой фигуры рассматривается конкретный многоугольник с картинки, мы будем называть его A 0 . Так вот, если фигуру A можно разрезать на две равных части B и C, то существует движение, переводящее B в C. Это движение может быть либо параллельным переносом, либо поворотом, либо скользящей симметрией (начиная с этого момента, я больше не оговариваю, что зеркальная симметрия также считается скользящей). На этом нехитром и, я бы даже сказал, очевидном, базисе и будет строиться наше решение. В этой части мы рассмотрим самый простой случай - параллельный перенос. Поворот и скользящая симметрия попадут во вторую и третью часть соответственно. Случай 1: параллельный переносПараллельный перенос задаётся единственным параметром - вектором, на который происходит сдвиг. Введём ещё несколько терминов. Прямую, параллельную вектору сдвига и содержащую хотя бы одну точку фигуры A, будем называть секущей . Пересечение секущей прямой и фигуры A будем называть сечением . Секущую, относительно которой фигура A (за вычетом сечения) целиком лежит в одной полуплоскости, будем называть границей .Лемма 1.
Сечение границей должно содержать более одной точки. Доказательство: очевидно. Ну или более развёрнуто: докажем от противного. Если эта точка принадлежит фигуре B, то её образ (т.е. точка, в которую она перейдёт при параллельном переносе) принадлежит фигуре C => образ принадлежит фигуре A => образ принадлежит сечению. Противоречие. Если эта точка принадлежит фигуре C, то её прообраз (точка, которая при параллельном переносе перейдёт в неё) принадлежит фигуре B, и далее аналогично. Получается, в сечении должно быть хотя бы две точки. Руководствуясь этой нехитрой леммой, нетрудно понять, что искомый параллельный перенос может происходить лишь вдоль вертикальной оси (в текущей ориентации картинки) Если бы он был в любом другом направлении, хотя бы одно из граничных сечений состояло бы из единственной точки. Это можно понять, мысленно повращав вектор сдвига и посмотрев, что при этом происходит с границами. Чтобы исключить случай вертикального параллельного переноса, нам понадобится более хитрый инструмент. Лемма 2.
Прообраз точки, находящейся на границе фигуры C, находится либо на границе фигур B и C, либо на границе фигуры B и области D. Доказательство: неочевидно, но сейчас мы это исправим. Напомню, граничной точкой фигуры называется такая точка, что сколь угодно близко от неё найдутся как точки, принадлежащие фигуре, так и точки, не принадлежащие ей. Соответственно, вблизи граничной точки (назовём её O") фигуры C найдутся как точки фигуры C, так и другие точки, принадлежащие либо фигуре B, либо области D. Прообразами точек фигуры C могут быть только точки фигуры B. Следовательно, сколь угодно близко к прообразу точки O" (будет логично назвать его точкой O) найдутся точки фигуры B. Прообразами точек фигуры B могут быть любые точки, не принадлежащие B (то есть либо точки фигуры С, либо точки области D). Аналогично для точек области D. Следовательно, сколь угодно близко к точке O найдутся либо точки фигуры C (и тогда точка O будет на границе B и C), либо точки области D (и тогда прообраз на границе B и D). Если вы сумеете продраться через все эти буквы, то согласитесь, что лемма доказана. Теорема 1.
Если сечение фигуры A представляет собой отрезок, то его длина кратна длине вектора сдвига. Доказательство: рассмотрим «дальний» конец этого отрезка (т.е. тот конец, прообраз которого также принадлежит отрезку). Этот конец, очевидно, принадлежит фигуре C и является её граничной точкой. Следовательно, его прообраз (кстати говоря, также лежащий на отрезке и отстоящий от образа на длину вектора сдвига) будет либо на границе B и C, либо на границе B и D. Если он на границе B и C, то возьмём также и его прообраз. Будем повторять эту операцию, пока очередной прообраз не перестанет быть на границе C и не окажется на границе D - а это произойдёт как раз на другом конце сечения. В результате мы получим цепочку прообразов, которые разбивают сечение на некоторое количество маленьких отрезочков, длина каждого из которых равняется длине вектора сдвига. Следовательно, длина сечения кратна длине вектора сдвига, ч.т.д. Следствие из теоремы 1. Любые два сечения, являющиеся отрезками, должны быть соизмеримы. Используя это следствие, нетрудно показать, что вертикальный параллельный перенос тоже отпадает. Действительно, сечение раз имеет длину три клетки, а сечение два - три минус корень из двух пополам. Очевидно, эти величины несоизмеримы. ВыводЕсли фигуру A 0 и можно разрезать на две равные фигуры B и C, то B не переводится в C параллельным переносом. Продолжение следует.Презентация к уроку наглядной геометрии в 5 классе. Ориентирован на учебное пособие для общеобразовательного учреждения «Наглядная геометрия», 5-6 классы/ И.Ф.Шапрыгин, Л.Н.Ерганжиева - Издательство: Дрофа, 2015 г. Основное понятие: равенство фигур. Предметные результаты: изображать равные фигуры и обосновывать их равенство; конструировать заданные фигуры из плоских геометрических фигур; создавать и манипулировать образом: расчленять, вращать, совмещать, накладывать. Метапредметные результаты: развитие образного мышления, конструкторских способностей, умения предвосхитить результат, формирование коммуникативных умений. Личностные результаты: развитие познавательной активности; привитие вкуса к умственной работе. Внутрипредметные и межпредметные связи: планиметрия (равенство фигур, симметрия, площадь, равновеликость и равносоставленность), геометрическая комбинаторика, черчение, технология. Данный урок - первый из двух по этой теме. На этом уроке рассматриваются задачи на разрезание фигур. Цель решающего — разрезать указанную фигуру на две или несколько равных частей. Часто для упрощения эту фигуру делят на клетки. В этих задачах неявно вводится понятие равенства фигур (равными называются фигуры, совпадающие при наложении). Это определение используется и для проверки равенства полученных фигур. Просмотр содержимого документа
|
Читайте: |
---|
Популярное:
Достаточные признаки экстремума функции |
Новое
- Задачи на разрезание и перекраивание фигур
- Процессы жизнедеятельности как пример необратимых процессов
- Константин Сперанский «Кто знает, о чем думает Амалия?
- Ассоциации к слову «Звук Ассоциация к слову звук фон звучание буква
- Предсказания рэя брэдбери, которые сбылись Предсказания Рэя Брэдбери
- Анализ причин и реалистический сценарий Чернобыльской аварии (16 фото)
- Древние пирамиды на Луне, постройки аннунаков Сооружения на луне
- Виды и размер стипендий студентам в россии
- Великий князь Алексей Александрович: биография Плавание по миру
- Все о водороде и водородной воде