Для нахождения максимумов и минимумов функции можно пользоваться любым из трех достаточных признаков экстремума. Хотя самым распространенным и удобным является первый из них.

Первое достаточное условие экстремума.

Пусть функция y = f(x) дифференцируема в -окрестности точки , а в самой точке непрерывна. Тогда

Другими словами:

Алгоритм.

• Находим область определения функции.

Находим производную функции на области определения.

Определяем нули числителя, нули знаменателя производной и точки области определения, в которых производная не существует (эти точки называют точками возможного экстремума , проходя через эти точки, производная как раз может изменять свой знак).

Эти точки разбивают область определения функции на промежутки, в которых производная сохраняет знак. Определяем знаки производной на каждом из интервалов (например, вычисляя значение производной функции в любой точке отдельно взятого интервала).

Выбираем точки, в которых функция непрерывна и, проходя через которые, производная меняет знак.

Пример. Найти экстремумы функции .
Решение.
Областью определения функции является все множество действительных чисел, кроме x = 2 .
Находим производную:

Нулями числителя являются точки x = -1 и x = 5 , знаменатель обращается в ноль при x = 2 . Отмечаем эти точки на числовой оси

Определяем знаки производной на каждом интервале, для этого вычислим значение производной в любой из точек каждого интервала, например, в точках x = -2, x = 0, x = 3 и x = 6 .

Следовательно, на интервале производная положительна (на рисунке ставим знак плюс над этим интервалом). Аналогично

Поэтому над вторым интервалом ставим минус, над третьим – минус, над четвертым – плюс.

Осталось выбрать точки, в которых функция непрерывна и ее производная меняет знак. Это и есть точки экстремума.
В точке x = -1 функция непрерывна и производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, по первому признаку экстремума, x = -1 – точка максимума, ей соответствуем максимум функции .
В точке x = 5 функция непрерывна и производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, x = -1 – точка минимума, ей соответствуем минимум функции .
Графическая иллюстрация.

Ответ: .

Второй достаточный признак экстремума функции.
Пусть ,

если , то - точка минимума;

если , то - точка максимума.

Как видите, этот признак требует существования производной как минимум до второго порядка в точке .
Пример. Найти экстремумы функции .
Решение.
Начнем с области определения:

Продифференцируем исходную функцию:

Производная обращается в ноль при x = 1 , то есть, это точка возможного экстремума.
Находим вторую производную функции и вычисляем ее значение при x = 1 :Причем,

Необходимый признак экстремума можно сформулировать и так: если точка M (x 0 , y 0 ) является точкой локального экстремума диффе­ренцируемой функции z = f (x , y ), то вектор градиента этой функции в этой точке будет нулевым вектором, т.е. .

Точки, в которых частные производные первого порядка функции двух переменных равны нулю, называются стационар­ными точками.

Для формулировки достаточного признака экстремума функции двух переменных нам понадобится матрица дифференциала второго порядка этой функции, записанного в виде квадратичной формы:

А также определитель этой матрицы, который можно записать в следующем виде:

Достаточный признак экстремума

Замечание. Если в стационарной точке М : Δ = АВ – С 2 = 0, то наличие экстремума возможно, но для этого требуется проведение дополнительных исследований.

ПРИМЕР: Найти экстремумы функции

Вычислим частные производные первого и второго порядка данной функции:

Для нахождения стационарных точек приравняем к нулю частные производные первого порядка и получим систему уравнений:

или:

Решая эту систему, получим две стационарные точки М (0, 0) и N (1, 1/2).

Для выяснения наличия экстремумов и их характеров в этих точках вычислим значения частных производных второго порядка последовательно в каждой точке.

Для стационарной точки М (0, 0) получим:

Поскольку: Δ = АВ – С 2 = - 36 < 0, в этой стационарной точке экстре­му­ма нет.

Для стационарной точки N (1, 1/2) получим:

Поскольку Δ = АВ – С 2 = 108 > 0 и A = 6 > 0, заключаем, что в этой стационарной точке будет локальный минимум данной функции. Причем значение функции в точке минимума будет равно 0.

Метод наименьших квадратов

В практических приложениях, в том числе и экономических, часто возникает задача сглаживания некоторых экспериментально полученных зависи­мостей. То есть задача по возможности точно отразить общую тенденцию зависимости y от x , исключив случайные отклонения от этой общей тенденции, обусловленные неизбежными погрешностями экспериментальных или статисти­ческих данных. Такую сглаженную зависимость обычно ищут в виде формулы. При этом формулы, служащие для аналитического представления зависимостей опытных или экспериментальных данных, принято называть эмпирическими.

Задача поиска подходящей эмпирической формулы обычно разбивается на два основных этапа. На первом этапе устанавливают, или выбирают, общий вид такой зависимости y = f (x ), т.е. решают, является ли данная зависимость линейной, квадратич­ной, показательной, логарифмической и т.д. При таком выборе часто привлекаются дополнительные соображения, как правило, нематематического характера. На втором этапе находят неизвестные параметры выбранной эмпирической функции, используя только массив экспериментально получен­ных данных.

Согласно наиболее распространенному и теоретически обоснованному методу наименьших квадратов в качестве неизвестных параметров эмпиричес­кой функции f (x ) выбирают такие значения, чтобы сумма квадратов “невязок” δ i (отклонений “теоретических” значений функции от экспериментально полу­ченных значений) была бы минимальной, т.е.:

где и - экспериментальные данные, а n – общее количество пар этих данных.

Рассмотрим простейшую задачу такого рода. Пусть в качестве эмпири­чес­кой функции выбрана линейная функция, т.е. (рис. 22), и необ­ходимо найти такие значения параметров a и b , которые доставят минимум функции: .

Очевидно, функция будет функцией двух переменных a и b до тех пор, пока не найдены и не зафиксированы их “наилучшие” значе­ния, поскольку все и есть постоянные числа, найденные экспериментально. Поэтому для нахождения параметров прямой, наилучшим образом согласован­ной с опытными данными, достаточно решить систему уравнений:

После соответствующих вычислений производных и тождест­венных преобразований эта система может быть пред­став­­лена в виде системы нормальных уравнений :

Эта система линейных уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено по правилу Крамера:

;

Таким образом, наилучшим линейным приближением экспериментальной зависимости по методу наименьших квадратов будет являться прямая .

ПРИМЕР: Зависимость между прибылью предприятия Y и стои­мостью основных фондов Х , выраженных в условных единицах, задается таблицей.

Для выяснения вида эмпирической формулы связи построим график экспериментальной зависимости (кружки на рис. 23). По расположению экспериментальных точек на графике можно предположить, что зависимость между Х и Y является линейной, т.е. имеет вид:

Для определения числовых значений параметров а и b проведем расчет коэффициентов системы нормальных уравнений, а для удобства сведем вычисления в таблицу.

По данным таблицы:

Подставляя найденные значения (с учетом того, что n = 7) в формулы для расчета параметров а и b , найдем:

Таким образом, эмпирическая зависимость имеет вид (на рис. 23 изображена сплошной прямой): y = 0,557x – 5,143.

ВОПРОСЫ для самоконтроля знаний по теме 6:

1. Задает ли уравнение функцию нескольких переменных?

Для нахождения максимумов и минимумов функции можно пользоваться любым из трех достаточных признаков экстремума. Хотя самым распространенным и удобным является первый из них.

Первое достаточное условие экстремума.

Пусть функция y = f(x) дифференцируема в -окрестности точки , а в самой точке непрерывна. Тогда

Другими словами:

Алгоритм.

• Находим область определения функции.

Находим производную функции на области определения.

Определяем нули числителя, нули знаменателя производной и точки области определения, в которых производная не существует (эти точки называют точками возможного экстремума , проходя через эти точки, производная как раз может изменять свой знак).

Эти точки разбивают область определения функции на промежутки, в которых производная сохраняет знак. Определяем знаки производной на каждом из интервалов (например, вычисляя значение производной функции в любой точке отдельно взятого интервала).

Выбираем точки, в которых функция непрерывна и, проходя через которые, производная меняет знак.

Пример. Найти экстремумы функции .
Решение.
Областью определения функции является все множество действительных чисел, кроме x = 2 .
Находим производную:

Нулями числителя являются точки x = -1 и x = 5 , знаменатель обращается в ноль при x = 2 . Отмечаем эти точки на числовой оси

Определяем знаки производной на каждом интервале, для этого вычислим значение производной в любой из точек каждого интервала, например, в точках x = -2, x = 0, x = 3 и x = 6 .

Следовательно, на интервале производная положительна (на рисунке ставим знак плюс над этим интервалом). Аналогично

Поэтому над вторым интервалом ставим минус, над третьим – минус, над четвертым – плюс.

Осталось выбрать точки, в которых функция непрерывна и ее производная меняет знак. Это и есть точки экстремума.
В точке x = -1 функция непрерывна и производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, по первому признаку экстремума, x = -1 – точка максимума, ей соответствуем максимум функции .
В точке x = 5 функция непрерывна и производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, x = -1 – точка минимума, ей соответствуем минимум функции .
Графическая иллюстрация.

Ответ: .

Второй достаточный признак экстремума функции.
Пусть ,

если , то - точка минимума;

если , то - точка максимума.

Как видите, этот признак требует существования производной как минимум до второго порядка в точке .
Пример. Найти экстремумы функции .
Решение.
Начнем с области определения:

Продифференцируем исходную функцию:

Производная обращается в ноль при x = 1 , то есть, это точка возможного экстремума.
Находим вторую производную функции и вычисляем ее значение при x = 1 :

Следовательно, по второму достаточному условию экстремума, x = 1 - точка максимума. Тогда - максимум функции.
Графическая иллюстрация.

Ответ: .
Третий достаточный признак экстремума функции.
Пусть функция y = f(x) имеет производные до n -ого порядка в -окрестности точки и производные до n+1 -ого порядка в самой точке . Пусть и .
Тогда,

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Алгебра и аналитическая геометрия. Понятие матрица, операции над матрицами и их свойства

Понятие матрица операции над матрицами и их свойства.. матрица это прямоугольная таблица составленная из чисел которые нельзя.. а сложение матриц поэлементная операция..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Определение дифференцируемости
Операция нахождения производной называется дифференцированием функции. Функция называется дифференцируемой в некоторой точке, если она имеет в этой точке конечную производную, и

Правило дифференцирования
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

Геометрический смысл производной. Уравнение касательной
Углом наклона прямой y = kx+b называют угол, отсчитываемый от полож

Геометрический смысл производной функции в точке
Рассмотрим секущую АВ графика функции y = f(x) такую, что точки А и В имеют соответственно координаты

Решение
Функция определена для всех действительных чисел. Так как (-1; -3) – точка касания, то

Необходимые условия экстремума и достаточные условия экстремума
Определение возрастающей функции. Функция y = f(x) возрастает на интервале X, если для любых

Условия монотонности и постоянства функции
Условие (нестрогой) монотонности функции на интервале. Пусть функция имеет производную в каж

Определение первообразной
Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство

Проверка
Для проверки результата продифференцируем полученное выражение: В итоге получи

Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции
Достаточным условием существования первообразной у заданной на отрезке функции являе

Определение
Пусть определена на

Геометрический смысл
Определённый интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми

Свойства определенного интеграла
Основные свойства определенного интеграла. Свойство 1. Производная от определённого интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которую вместо переменной интегрирован

Формула Ньютона-Лейбница (с доказательством)
Формула Ньютона-Лейбница. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке и F(x) - одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедливо рав

Чтобы исследовать поведение функции , нужно:

2) Приравнять эту производную к нулю и решить полученное уравнение
Его корни
являются стационарными точками.

3) Подвергнуть стационарные точки дополнительному исследованию, для чего нанести их на числовую ось и определить знаки
на получившихся участках. Зная эти знаки, можно определить характер каждой стационарной точки. Если при прохождении через стационарную точку производная
меняет знак с плюса на минус, то стационарная точка является точкой максимума. Если при прохождении через стационарную точку знак производной меняется с минуса на плюс, то стационарная точка является точкой минимума. Если при прохождении через стационарную точку производная
знак не меняет, то стационарная точка не является точкой экстремума.

Иногда при нахождении экстремумов используются другие достаточные условия, в которых характер точки экстремума определяется знаком второй производной в стационарной точке.

Теорема (второе достаточное условие существования экстремума).Пусть --- стационарная точка функции(то есть
иимеет вторую производную, непрерывную в окрестности точки.Тогда

1)если
, то--- точка максимума функции;

2)если
, то--- точка минимума функции.

Пример 3. Найти экстремум функции .

Решение. Поскольку
периодическая функция с периодом
, достаточно рассмотреть лишь промежуток от 0 до
. Найдем
и
:

,
.

Приравнивая
к нулю, найдем стационарные точки:

или
. На промежутке
лежат два корня этого уравнения:
и
. Определим знак
в этих точках:
, следовательно
--- точка максимума:

, следовательно
--- точка минимума.

Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба

Рассмотрим на плоскости кривую Г, являющуюся графиком дифференцируемой функции
.

Определение 1 . Кривая называется выпуклой вверх (выпуклой) на (a,b), если на этом интервале все точки кривой лежат не выше любой ее касательной.

Определение 2. Кривая называется выпуклой вниз (вогнутой) на
, если на этом интервале все точки кривой лежат не ниже любой ее касательной.

Направление выпуклости кривой является важной характеристикой ее формы. Установим признаки, с помощью которых определяют интервалы, на которых график функции является выпуклым (вогнутым). Таким признаком служит, например, знак второй производной функции
(если она существует).

Теорема 1.
вторая производная функцииотрицательна, то кривая
на этом интервале выпукла вверх.

Теорема 2. Если во всех точках интервала
вторая производная функции
положительна, то кривая
на этом интервале вогнута (выпукла вниз).

Пример 1. Найти интервалы выпуклости-вогнутости функции

Решение. При

следовательно, функция при этихвыпукла; при

, следовательно, при этихфункция вогнута.

Определение 3 . Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.

Очевидно, что в точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, так как с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой стороны - над ней.

Теорема 3. (Необходимое условие перегиба). Если есть точка перегиба кривой
и в ней существует вторая производная
то
.

Откуда следует, что проверять на перегиб надо лишь те точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.

Теорема 4. Если при переходе через точку вторая производная
меняет знак, то точка кривой
с абсциссойесть точка перегиба.

Пример 2.Найти точки перегиба кривой
.

Решение. Область допустимых значений:
.

Находим производные:

;
.

Вторая производная нигде не обращается в ноль, но при
не существует.

Определим знаки
слева и справа от точки
:

при
, следовательно на интервале
функция вогнута;

при
, следовательно на интервале
функция выпукла.

Таким образом, при
существует точка перегиба
.

Признаки локального возрастания и убывания функции.

Одна из основных задач исследования функции — это нахождение промежутков ее возрастания и убывания. Такое исследование легко провести с помощью производной. Сформулируем соответствующие утверждения.

Достаточный признак возрастания функции . Если f’(х) > 0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на I.

Достаточный признак убывания функции . Если f’(х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.

Доказательство этих признаков проводится на основании формулы Лагранжа (см. п. 19). Возьмем два любых числа х 1 и x 2 из интервала. Пусть x 1 существует число с∈(х 1 , x 2 ), такое, что

(1)

Число с принадлежит интервалу I, так как точки х 1 и x 2 принадлежат I. Если f"(x)>0 для х∈I то f’(с)>0, и поэтому F(x 1 )) — это следует из формулы (1), так как x 2 — x 1 >0. Этим доказано возрастание функции f на I. Если же f’ (x)<0 для х∈I то f"(с)<0, и потому f(x 1 )>f (х 2 ) — следует из формулы (1), так как x 2 —x 1 >0. Доказано убывание функции f на I.

Наглядный смысл признаков ясен из физических рассуждений (рассмотрим для определенности признак возрастания).

Пусть движущаяся по оси ординат точка в момент времени t имеет ординату y = f(t). Тогда скорость этой точки в момент времени t равна f"(t) (см. Мгновенная скорость ). Если f’ (t)>0 в каждый момент времени из промежутка t, то точка движется в положительном направлении оси ординат, т. е. если t 1 ). Это означает, что функция f возрастает на промежутке I.

Замечание 1.

Если функция f непрерывна в каком-либо из концов промежутка возрастания (убывания), то эту точку присоединяют к этому промежутку.

Замечание 2.

Для решения неравенств f" (х)>0 и f" (х)<0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов (теоремой Дарбу) : точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения функции f на промежутки, в каждом из которых f" сохраняет постоянный знак. (Этот факт доказывается в курсах математического анализа.) Знак можно определить, вычислив значение f" в какой-нибудь точке промежутка.

Необходимые и достаточные условия существования экстремума функции в точке.

Необходимое условие экстремума

Функция g(x) в точке имеет экстремум(максимум или минимум), если функция определена в двухсторонней окрестности точки и для всех точек x некоторой области: , выполнено соответственно неравенство

(в случае максимума) или (в случае минимума).

Экстремум функции находиться из условия: , если производная существует, т.е. приравниваем первую производную функции к нулю.

Достаточное условие экстремума

1) Первое достаточное условие :

а) f(x) непрерывная функция и определена в некоторой окрестности точки такой, что первая производная в данной точке равна нулю или не существует.

б) f(x) имеет конечную производную в окрестности задания и непрерывности функции

в) производная сохраняет определенный знак справа от точки и слева от этой же точки, тогда точку можно охарактеризовать следующим образом

Это условие не очень удобное, так как нужно проверять множество условий и запоминать таблицу, однако если ничего не сказано о производных высших порядках, то это единственный способ найти экстремум функции.

2) Второе достаточное условие

Если функция g(x) обладает второй производной причем в некоторой точкепервая производная равна нулю, а вторая производная отлично от нуля. Тогда точкаэкстремум функции g(x), причем если , то точка является максимумом; если , то точка является минимумом.