Процедура вычисления тройного интеграла аналогична соответствующей операции для двойного интеграла. Для ее описания введем понятие правильной трехмерной области:
Определение 9.1. Трехмерная область V, ограниченная замкнутой поверхностью S, называется правильной, если:
- любая прямая, параллельная оси Оz и проведенная через внутреннюю точку области, пересекает S в двух точках;
- вся область V проектируется на плоскость Оху в правильную двумерную область D;
- любая часть области V, отсеченная от нее плоскостью, параллельной какой-либо из координатных плоскостей, обладает свойствами 1) и 2).
Рассмотрим правильную область V, ограниченную снизу и сверху поверхностями z=χ(x,y) и z=ψ(x,y) и проектирующуюся на плоскость Оху в правильную область D, внутри которой х изменяется в пределах от а до b, ограниченную кривыми y=φ1(x) и y=φ2(x) (рис.1). Зададим в области V непрерывную функцию f(x, y, z).
Определение 9.2. Назовем трехкратным интегралом от функции f(x, y, z) по области V выражение вида:
Трехкратный интеграл обладает теми же свойствами, что и двукратный. Перечислим их без доказательства, так как они доказываются аналогично случаю двукратного интеграла.
Вычисление тройного интеграла.
Теорема 9.1. Тройной интеграл от функции f(x,y,z) по правильной области V равен трехкратному интегралу по той же области:
. (9.3)
Доказательство.
Разобьем область V плоскостями, параллельными координатным плоскостям, на п правильных областей . Тогда из свойства 1 следует, что
где – трехкратный интеграл от функции f(x,y,z) по области .
Используя формулу (9.2), предыдущее равенство можно переписать в виде:
Из условия непрерывности функции f(x,y,z) следует, что предел интегральной суммы, стоящей в правой части этого равенства, существует и равен тройному интегралу . Тогда, переходя к пределу при , получим:
что и требовалось доказать.
Замечание.
Аналогично случаю двойного интеграла можно доказать, что изменение порядка интегрирования не меняет значения трехкратного интеграла.
Пример. Вычислим интеграл где V - треугольная пирамида с вершинами в точках (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1). Ее проекцией на плоскость Оху является треугольник с вершинами (0, 0), (1, 0) и (0, 1). Снизу область ограничена плоскостью z = 0, а сверху - плоскостью x + y + z = 1. Перейдем к трехкратному интегралу:
Множители, не зависящие от переменной интегриро-вания, можно вынести за знак соответствующего интеграла:
Криволинейные системы координат в трехмерном пространстве.
- Цилиндрическая система координат.
Цилиндрические координаты точки Р(ρ,φ,z) - это полярные координаты ρ, φ проекции этой точки на плоскость Оху и аппликата данной точки z (рис.2).
Формулы перехода от цилиндрических координат к декартовым можно задать следующим образом:
x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z. (9.4)
- Сферическая система координат.
В сферических координатах положение точки в пространстве определяется линейной координатой ρ - расстоянием от точки до начала декартовой системы координат (или полюса сферической системы), φ - полярным углом между положительной полуосью Ох и проекцией точки на плоскость Оху, и θ - углом между положительной полуосью оси Оz и отрезком OP (рис.3). При этом
Зададим формулы перехода от сферических координат к декартовым:
x = ρ sinθ cosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ. (9.5)
Якобиан и его геометрический смысл.
Рассмотрим общий случай замены переменных в двойном интеграле. Пусть в плоскости Оху дана область D, ограниченная линией L. Предположим, что х и у являются однозначными и непрерывно дифференцируемыми функциями новых переменных u и v:
x = φ(u, v), y = ψ(u, v). (9.6)
Рассмотрим прямоугольную систему координат Оuv, точка Р΄(u, v) которой соответствует точке Р(х, у) из области D. Все такие точки образуют в плоскости Оuv область D΄, ограниченную линией L΄. Можно сказать, что формулы (9.6) устанавливают взаимно однозначное соответствие между точками областей D и D΄. При этом линиям u = const и
v = const в плоскости Оuv будут соответствовать некоторые линии в плоскости Оху.
Рассмотрим в плоскости Оuv прямоугольную площадку ΔS΄, ограниченную прямыми u = const, u+Δu = const, v = const и v+Δv = const. Ей будет соответствовать криволинейная площадка ΔS в плоскости Оху (рис.4). Площади рассматриваемых площадок тоже будем обозначать ΔS΄ и ΔS. При этом ΔS΄ = Δu Δv. Найдем площадь ΔS. Обозначим вершины этого криволинейного четырехугольника Р1, Р2, Р3, Р4, где
P1(x1, y1), x1 = φ(u, v), y1 = ψ(u, v);
P2(x2, y2), x2 = φ(u+Δu, v), y2 = ψ(u+Δu, v);
P3(x3, y3), x3 = φ(u+Δu, v+Δv), y3 = ψ(u+Δu, v+Δv);
P4(x4, y4), x4 = φ(u, v+Δv), y4 = ψ(u, v+Δv).
Заменим малые приращения Δu и Δv соответствующими дифференциалами. Тогда
При этом четырехугольник Р1 Р2 Р3 Р4 можно считать параллелограммом и определить его площадь по формуле из аналитической геометрии:
(9.7)
Определение 9.3. Определитель называется функциональным определителем или якобианом функций φ(х, у) и ψ(х, у).
Переходя к пределу при в равенстве (9.7), получим геометрический смысл якобиана:
то есть модуль якобиана есть предел отношения площадей бесконечно малых площадок ΔS и ΔS΄.
Замечание. Аналогичным образом можно определить понятие якобиана и его геометрический смысл для п-мерного пространства: если x1 = φ1(u1, u2,…,un), x2 = φ2(u1, u2,…,un),…, xn = φ(u1, u2,…, un), то
(9.8)
При этом модуль якобиана дает предел отношения «объемов» малых областей пространств х1, х2,…, хп и u1, u2,…, un .
Замена переменных в кратных интегралах.
Исследуем общий случай замены переменных на примере двойного интеграла.
Пусть в области D задана непрерывная функция z = f(x,y), каждому значению которой соответствует то же самое значение функции z = F(u, v) в области D΄, где
F(u, v) = f(φ(u, v), ψ(u, v)). (9.9)
Рассмотрим интегральную сумму
где интегральная сумма справа берется по области D΄. Переходя к пределу при , получим формулу преобразования координат в двойном интеграле.
Тройные интегралы. Вычисление объема тела. Тройной интеграл в цилиндрических координатах
Три дня в деканате покойник лежал, в штаны Пифагора одетый,
В руках Фихтенгольца он томик держал, что сжил его с белого света,
К ногам привязали тройной интеграл, и в матрицу труп обернули,
А вместо молитвы какой-то нахал прочёл теорему Бернулли.
Тройные интегралы – это то, чего уже можно не бояться =) Ибо если Вы читаете сей текст, то, скорее всего, неплохо разобрались с теорией и практикой «обычных» интегралов
, а также двойными интегралами
. А там, где двойной, неподалёку и тройной:
И в самом деле, чего тут опасаться? Интегралом меньше, интегралом больше….
Разбираемся в записи:
– значок тройного интеграла; – подынтегральная функция трёх переменных
; – произведение дифференциалов. – область интегрирования.
Особо остановимся на области интегрирования
. Если в двойном интеграле
она представляет собой плоскую фигуру
, то здесь – пространственное тело
, которое, как известно, ограничено множеством поверхностей
. Таким образом, помимо вышеуказанного вы должны ориентироваться в основных поверхностях пространства
и уметь выполнять простейшие трёхмерные чертежи.
Некоторые приуныли, понимаю…. Увы, статью нельзя озаглавить «тройные интегралы для чайников», и кое-что знать/уметь нужно. Но ничего страшного – весь материал изложен в предельно доступной форме и осваивается в кратчайшие сроки!
Что значит вычислить тройной интеграл и что это вообще такое?
Вычислить тройной интеграл – это значит найти ЧИСЛО
:
В простейшем случае, когда , тройной интеграл численно равен объёму тела
. И действительно, в соответствии с общим смыслом интегрирования
, произведение равно бесконечно малому
объёму элементарного «кирпичика» тела. А тройной интеграл как раз и объединяет
все эти бесконечно малые частички
по области , в результате чего получается интегральное (суммарное) значение объёма тела: .
Кроме того, у тройного интеграла есть важные физические приложения
. Но об этом позже – во 2-й части урока, посвящённой вычислениям произвольных тройных интегралов
, у которых функция в общем случае отлична от константы и непрерывна в области . В данной же статье детально рассмотрим задачу нахождения объёма, которая по моей субъективной оценке встречается в 6-7 раз чаще.
Как решить тройной интеграл?
Ответ логично вытекает из предыдущего пункта. Необходимо определить порядок обхода тела
и перейти к повторным интегралам
. После чего последовательно расправиться с тремя одиночными интегралами.
Как видите, вся кухня очень и очень напоминает двойные интегралы
, с тем отличием, что сейчас у нас добавилась дополнительная размерность (грубо говоря, высота). И, наверное, многие из вас уже догадались, как решаются тройные интегралы.
Развеем оставшиеся сомнения:
Пример 1
Пожалуйста, перепишите столбиком на бумагу:
И ответьте на следующие вопросы. Знаете ли Вы, какие поверхности задают эти уравнения? Понятен ли Вам неформальный смысл этих уравнений? Представляете ли Вы, как данные поверхности расположены в пространстве?
Если Вы склоняетесь к общему ответу «скорее нет, чем да», то обязательно проработайте урок , иначе дальше будет не продвинуться!
Решение
: используем формулу .
Для того чтобы выяснить порядок обхода тела
и перейти к повторным интегралам
нужно (всё гениальное просто) понять, что это за тело. И такому пониманию во многих случаях здОрово способствуют чертёжи.
По условию тело ограничено несколькими поверхностями. С чего начать построение? Предлагаю следующий порядок действий:
Сначала изобразим параллельную ортогональную
проекцию тела на координатную плоскость . Первый раз сказал, как эта проекция называется, lol =)
Коль скоро проецирование проводится вдоль оси , то в первую очередь целесообразно разобраться с поверхностями
, которые параллельны данной оси. Напоминаю, что уравнения таких поверхностей не содержат буквы «зет»
. В рассматриваемой задаче их три:
– уравнение задаёт координатную плоскость , которая проходит через ось ;
– уравнение задаёт координатную плоскость , которая проходит через ось ;
– уравнение задаёт плоскость
«плоскую» прямую
параллельно оси .
Скорее всего, искомая проекция представляет собой следующий треугольник:
Возможно, не все до конца поняли, о чём речь. Представьте, что из экрана монитора выходит ось и утыкается прямо в вашу переносицу (т.е. получается, что вы смотрите на 3-мерный чертёж сверху)
. Исследуемое пространственное тело находится в бесконечном трёхгранном «коридоре» и его проекция на плоскость вероятнее всего представляет собой заштрихованный треугольник.
Обращаю особое внимание, что пока мы высказали лишь предположение о проекции
и оговорки «скорее всего», «вероятнее всего» были не случайны. Дело в том, что проанализированы ещё не все поверхности и может статься так, что какая-нибудь из них «оттяпает» часть треугольника. В качестве наглядного примера напрашивается сфера
с центром в начале координат радиусом мЕньшим единицы, например, сфера – её проекция на плоскость (круг ) не полностью «накроет» заштрихованную область, и итоговая проекция тела будет вовсе не треугольником (круг «срежет» ему острые углы)
.
На втором этапе выясняем, чем тело ограничено сверху, чем снизу и выполняем пространственный чертёж. Возвращаемся к условию задачи и смотрим, какие поверхности остались. Уравнение задаёт саму координатную плоскость , а уравнение – параболический цилиндр
, расположенный над
плоскостью и проходящий через ось . Таким образом, проекция тела действительно представляет собой треугольник.
Кстати, здесь обнаружилась избыточность
условия – в него было не обязательно включать уравнение плоскости , поскольку поверхность , касаясь оси абсцисс, и так замыкает тело. Интересно отметить, что в этом случае мы бы не сразу смогли начертить проекцию – треугольник «прорисовался» бы только после анализа уравнения .
Аккуратно изобразим фрагмент параболического цилиндра:
После выполнения чертежей с порядком обхода тела
никаких проблем!
Сначала определим порядок обхода проекции
(при этом ГОРАЗДО УДОБНЕЕ ориентироваться по двумерному чертежу).
Это делается АБСОЛЮТНО ТАК ЖЕ
, как и в двойных интегралах
! Вспоминаем лазерную указку и сканирование плоской области. Выберем «традиционный» 1-й способ обхода:
Далее берём в руки волшебный фонарик, смотрим на трёхмерный чертёж и строго снизу вверх
просвечиваем пациента. Лучи входят в тело через плоскость и выходят из него через поверхность . Таким образом, порядок обхода тела:
Перейдём к повторным интегралам:
1) Начать следует с «зетового» интеграла. Используем формулу Ньютона-Лейбница
:
Подставим результат в «игрековый» интеграл:
Что получилось? По существу решение свелось к двойному интегралу, и именно – к формуле объёма цилиндрического бруса
! Дальнейшее хорошо знакомо:
2)
Обратите внимание на рациональную технику решения 3-го интеграла.
Ответ
:
Вычисления всегда можно записать и «одной строкой»:
Но с этим способом будьте осторожнее – выигрыш в скорости чреват потерей качества, и чем труднее пример, тем больше шансов допустить ошибку.
Ответим на важный вопрос:
Нужно ли делать чертёжи, если условие задачи не требует их выполнения?
Можно пойти четырьмя путями:
1) Изобразить проекцию и само тело. Это самый выигрышный вариант – если есть возможность выполнить два приличных чертежа, не ленитесь, делайте оба чертежа. Рекомендую в первую очередь.
2) Изобразить только тело. Годится, когда у тела несложная и очевидная проекция. Так, например, в разобранном примере хватило бы и трёхмерного чертежа. Однако тут есть и минус – по 3D-картинке неудобно определять порядок обхода проекции, и этот способ я бы советовал только людям с хорошим уровнем подготовки.
3) Изобразить только проекцию. Тоже неплохо, но тогда обязательны дополнительные письменные комментарии, чем ограничена область с различных сторон. К сожалению, третий вариант зачастую бывает вынужденным – когда тело слишком велико либо его построение сопряжено с иными трудностями. И такие примеры мы тоже рассмотрим. 4) Обойтись вообще без чертежей. В этом случае нужно представлять тело мысленно и закомментировать его форму/расположение письменно. Подходит для совсем простых тел либо задач, где выполнение обоих чертежей затруднительно. Но всё же лучше сделать хотя бы схематический рисунок, поскольку «голое» решение могут и забраковать.
Следующее тело для самостоятельного дела:
Пример 2
С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
В данном случае область интегрирования задана преимущественно неравенствами, и это даже лучше – множество неравенств задаёт 1-й октант, включая координатные плоскости, а неравенство – полупространство
, содержащее начало координат (проверьте)
+ саму плоскость. «Вертикальная» плоскость рассекает параболоид по параболе и на чертеже желательно построить данное сечение. Для этого нужно найти дополнительную опорную точку, проще всего – вершину параболы (рассматриваем значения и рассчитываем соответствующее «зет»)
.
Продолжаем разминаться:
Пример 3
Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Выполнить чертёж.
Решение
: формулировка «выполнить чертёж» даёт нам некоторую свободу, но, скорее всего, подразумевает выполнение пространственного чертежа. Однако и проекция тоже не помешает, тем более, она здесь не самая простая.
Придерживаемся отработанной ранее тактики – сначала разберёмся с поверхностями
, которые параллельны оси аппликат. Уравнения таких поверхностей не содержат в явном виде переменную «зет»:
– уравнение задаёт координатную плоскость , проходящую через ось (которая на плоскости определяется «одноимённым» уравнением )
;
– уравнение задаёт плоскость
, проходящую через «одноимённую» «плоскую» прямую
параллельно оси .
Искомое тело ограниченно плоскостью снизу и параболическим цилиндром
сверху:
Составим порядок обхода тела, при этом «иксовые» и «игрековые» пределы интегрирования, напоминаю, удобнее выяснять по двумерному чертежу:
Таким образом:
1)
При интегрировании по «игрек» – «икс» считается константой, поэтому константу целесообразно сразу вынести за знак интеграла.
3)
Ответ
:
Да, чуть не забыл, в большинстве случаев полученный результат малополезно (и даже вредно) сверять с трёхмерным чертежом, поскольку с большой вероятностью возникнет иллюзия объёма
, о которой я рассказал ещё на уроке Объем тела вращения
. Так, оценивая тело рассмотренной задачи, лично мне показалось, что в нём гораздо больше 4 «кубиков».
Следующий пример для самостоятельного решения:
Пример 4
Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость .
Примерный образец оформления задачи в конце урока.
Не редкость, когда выполнение трёхмерного чертежа затруднено:
Пример 5
С помощью тройного интеграла найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
Решение
: проекция здесь несложная, но вот над порядком её обхода нужно подумать. Если выбрать 1-й способ, то фигуру придётся разделить на 2 части, что неиллюзорно грозит вычислением суммы двух
тройных интегралов. В этой связи гораздо перспективнее выглядит 2-й путь. Выразим и изобразим проекцию данного тела на чертеже:
Прошу прощения за качество некоторых картинок, я их вырезаю прямо из собственных рукописей.
Выбираем более выгодный порядок обхода фигуры:
Теперь дело за телом. Снизу оно ограничено плоскостью , сверху – плоскостью , которая проходит через ось ординат. И всё бы было ничего, но последняя плоскость слишком крутА и построить область не так-то просто. Выбор тут незавиден: либо ювелирная работа в мелком масштабе (т.к. тело достаточно тонкое), либо чертёж высотой порядка 20 сантиметров (да и то, если вместится).
Но есть и третий, исконно русский метод решения проблемы – забить =) А вместо трёхмерного чертежа обойтись словесным описанием: «Данное тело ограничено цилиндрами и плоскостью сбоку, плоскостью – снизу и плоскостью – сверху».
«Вертикальные» пределы интегрирования, очевидно, таковы:
Вычислим объём тела, не забывая, что проекцию мы обошли менее распространённым способом:
1)
Ответ
:
Как вы заметили, предлагаемые в задачах тела не дороже сотни баксов часто ограничены плоскостью снизу. Но это не есть какое-то правило, поэтому всегда нужно быть начеку – может попасться задание, где тело расположено и под
плоскостью . Так, например, если в разобранной задаче вместо рассмотреть плоскость , то исследованное тело симметрично отобразится в нижнее полупространство и будет ограничено плоскостью снизу, а плоскостью – уже сверху!
Легко убедиться, что получится тот же самый результат:
(помним, что тело нужно обходить строго снизу вверх!
)
Кроме того, «любимая» плоскость может оказаться вообще не при делах, простейший пример: шар, расположенный выше плоскости – при вычислении его объёма уравнение не понадобится вообще.
Все эти случаи мы рассмотрим, а пока аналогичное задание для самостоятельного решения:
Пример 6
С помощью тройного интеграла найти объём тела, ограниченного поверхностями
Краткое решение и ответ в конце урока.
Переходим ко второму параграфу с не менее популярными материалами:
Тройной интеграл в цилиндрических координатах
Цилиндрические координаты – это, по сути, полярные координаты
в пространстве. В цилиндрической системе координат положение точки пространства определяется полярными координатами и точки – проекции точки на плоскость и аппликатой самой точки .
Переход от трёхмерной декартовой системы к цилиндрической системе координат осуществляется по следующим формулам:
Применительно к нашей теме преобразование выглядит следующим образом:
И, соответственно, в упрощённом случае, который мы рассматриваем в этой статье:
Главное, не забывать про дополнительный множитель «эр» и правильно расставлять полярные пределы интегрирования
при обходе проекции:
Пример 7
Решение
: придерживаемся того же порядка действий: в первую очередь рассматриваем уравнения, в которых отсутствует переменная «зет». Оно здесь одно. Проекция цилиндрической поверхности
на плоскость представляет собой «одноимённую» окружность
.
Плоскости ограничивают искомое тело снизу и сверху («высекают» его из цилиндра) и проецируются в круг :
На очереди трёхмерный чертёж. Основная трудность состоит в построении плоскости , которая пересекает цилиндр под «косым» углом, в результате чего получается эллипс
. Уточним данное сечение аналитически: для этого перепишем уравнение плоскости в функциональном виде и вычислим значения функции («высоту») в напрашивающихся точках , которые лежат на границе проекции:
Отмечаем найдённые точки на чертеже и аккуратно (а не так, как я =))
соединяем их линией:
Проекция тела на плоскость представляет собой круг, и это весомый аргумент в пользу перехода к цилиндрической системе координат:
Найдём уравнения поверхностей в цилиндрических координатах:
Теперь следует выяснить порядок обхода тела.
Сначала разберёмся с проекцией. Как определить её порядок обхода? ТОЧНО ТАК ЖЕ, как и при вычислении двойных интегралов в полярных координатах
. Здесь он элементарен:
«Вертикальные» пределы интегрирования тоже очевидны – входим в тело через плоскость и выходим из него через плоскость :
Перейдём к повторным интегралам:
При этом множитель «эр» сразу ставим в «свой» интеграл.
Веник как обычно легче сломать по прутикам:
1)
Сносим результат в следующий интеграл:
А тут не забываем, что «фи» считается константой. Но это до поры до времени:
Ответ
:
Похожее задание для самостоятельного решения:
Пример 8
Вычислить с помощью тройного интеграла объём тела, ограниченного поверхностями . Выполнить чертёжи данного тела и его проекции на плоскость .
Примерный образец чистового оформления в конце урока.
Обратите внимание, что в условиях задач ни слова не сказано о переходе к цилиндрической системе координат, и несведущий человек будет бодаться с трудными интегралами в декартовых координатах. …А может и не будет – ведь есть третий, исконно русский способ решения проблем =)
Всё только начинается! …в хорошем смысле: =)
Пример 9
С помощью тройного интеграла найти объем тела, ограниченного поверхностями
Скромно и со вкусом.
Решение
: данное тело ограничено конической поверхностью
и эллиптическим параболоидом
. Читатели, которые внимательно ознакомились с материалами статьи Основные поверхности пространства
, уже представили, как выглядит тело, но на практике часто встречаются более сложные случаи, поэтому я проведу подробное аналитическое рассуждение.
Сначала найдём линии, по которым пересекаются поверхности. Составим и решим следующую систему:
Из 1-го уравнения почленно вычтем второе:
В результате получено два корня:
Подставим найденное значение в любое уравнение системы: , откуда следует, что
Таким образом, корню соответствует единственная точка – начало координат. Естественно – ведь вершины рассматриваемых поверхностей совпадают.
Теперь подставим второй корень – тоже в любое уравнение системы:
Каков геометрический смысл полученного результата? «На высоте» (в плоскости ) параболоид и конус пересекаются по окружности
– единичного радиуса с центром в точке .
При этом «чаша» параболоида вмещает в себя «воронку» конуса, поэтому образующие
конической поверхности следует прочертить пунктиром (за исключением отрезка дальней от нас образующей, который виден с данного ракурса):
Проекцией тела на плоскость является круг
с центром в начале координат радиуса 1, который я даже не удосужился изобразить ввиду очевидности данного факта (однако письменный комментарий делаем!)
. Кстати, в двух предыдущих задачах на чертёж проекции тоже можно было бы забить, если бы не условие.
При переходе к цилиндрическим координатам по стандартным формулам неравенство запишется в простейшем виде и с порядком обхода проекции никаких проблем:
Найдём уравнения поверхностей в цилиндрической системе координат:
Так как в задаче рассматривается верхняя часть конуса, то из уравнения выражаем:
«Сканируем тело» снизу вверх. Лучи света входят в него через эллиптический параболоид и выходят через коническую поверхность . Таким образом, «вертикальный» порядок обхода тела:
Остальное дело техники:
Ответ
:
Не редкость, когда тело задаётся не ограничивающими его поверхностями, а множеством неравенств:
Пример 10
Геометрический смысл пространственных неравенств я достаточно подробно разъяснил в той же справочной статье – Основные поверхности пространства и их построение
.
Данная задача хоть и содержит параметр, но допускает выполнение точного чертежа, отражающего принципиальный вид тела. Подумайте, как выполнить построение. Краткое решение и ответ – в конце урока.
…ну что, ещё парочку заданий? Думал закончить урок, но прямо так и чувствую, что вы хотите ещё =)
Пример 11
С помощью тройного интеграла вычислить объём заданного тела: , где – произвольное положительное число.
Решение
: неравенство задаёт шар с центром в начале координат радиуса , а неравенство – «внутренность» кругового цилиндра с осью симметрии радиуса . Таким образом, искомое тело ограничено круговым цилиндром сбоку и симметричными относительно плоскости сферическими сегментами сверху и снизу.
Принимая за базовую единицу измерения, выполним чертёж:
Точнее, его следует назвать рисунком, поскольку пропорции по оси я выдержал не очень-то хорошо. Однако, справедливости ради, по условию вообще не требовалось ничего чертить и такой иллюстрации оказалось вполне достаточно.
Обратите внимание, что здесь не обязательно выяснять высоту, на которой цилиндр высекает из шара «шапки» – если взять в руки циркуль и наметить им окружность с центром в начале координат радиуса 2 см, то точки пересечения с цилиндром получатся сами собой. |
Записывается тройной интеграл так:
Вычислить тройной интеграл
- значит найти число, равное объёму тела
V
или, что то же самое - области V
.
Практически каждый может понять смысл вычисления тройного интеграла "на своей шкуре".
Точнее - "под шкурой", а ещё точнее - по своим органам дыхания - лёгким. Вне зависимости от того, знаете
ли вы об этом или не знаете, в лёгких человека свыше 700 миллионов альвеол - пузырьковых образований,
оплетённых сетью капилляров. Через стенки альвеол происходит газообмен. Поэтому можно рассуждать так:
объём газа в лёкгих, можно представить в виде некоторой компактной области. А состоит этот объём из
маленьких объёмов, сосредоточенных в альвеолах. Ключевую роль в этом сравнении играет именно огромное
количество альвеол в лёгких: как мы увидим в следующем абзаце, через такое "огромное количество малостей"
математически как раз и формулируется понятие тройного интеграла.
Почему именно тройной интеграл служит для нахождения объёма тела V
?
Пусть область V
разбита на n
произвольных областей Δv
i
,
причём под этим обозначением подразумевается не только каждая маленькая область, но и её объём. В каждой такой
маленькой области выбрана произвольная точка M
i
, а
f
(M
i
)
- значение функции
f
(M
)
в этой точке. Теперь будем максимально увеличивать число таких
маленьких областей, а наибольший диаметр Δv
i
-
наоборот, уменьшать. Можем составить интегральную сумму вида
Если функция f
(M
) = f
(x
, y
, z
)
непрерывна, то будет существовать предел интегральных сумм
вида, указанного выше. Этот предел и называется
тройным интегралом
.
В этом случае функция f
(M
) = f
(x
, y
, z
)
называется интегрируемой в области V
; V
-
областью интегрирования; x
, y
, z
- переменными интегрирования,
dv
(или dx
dy
dz
) -
элементом объёма.
Вычисление тройного интеграла путём уменьшения кратности
Как и в случае двойных интегралов, вычисление тройных интегралов сводится к вычислению интегралов
меньшей кратности.
Рассмотрим трёхмерную область V
. Снизу и сверху (то есть по высоте)
эта область ограничена поверхностями z
= z
1
(x
, y
)
и
z
= z
2
(x
, y
)
.
С боковых сторон (то есть по ширине) область ограничена поверхностями y
= y
1
(x
)
и
y
= y
2
(x
)
. И, наконец,
по глубине (если Вы смотрите на область в направлении оси Ox
) - поверхностями
x
= a
и x
= b
Чтобы применять переход к интегралам меньшей кратности, требуется, чтобы трёхмерная область
V
была правильной. Она правильна тогда, когда прямая, параллельная оси
Oz
, пересекает границу области V
не более чем в двух точках. Правильными
трёхмерными областями являются, например, прямоугольный параллелепипед, эллипсоид, тетраэдр. На рисунке ниже -
прямоугольный параллелепипед, который встретится нам в первом примере на решение задач.
Чтобы наглядно представить отличие правильности от
неправильности, добавим, что поверхности области по высоте у правильной области не должны быть вогнуты вовнутрь. На
рисунке ниже - пример неправильной области V
- однополостный гиперболоид,
поверхность которого прямая, параллельная оси Oz
(красного цвета), пересекает более чем в двух точках.
Мы будем рассматривать только правильные области.
Итак, область V
- правильная. Тогда для любой функции
f
(x
, y
, z
)
, непрерывной в области
V
, справедлива формула
Эта формула позволяет свести вычисление тройного интеграла к последовательному вычислению
внутреннего определённого интеграла по переменной z
(при постоянных x
и y
) и
внешнего двойного интеграла по двумерной области D
.
Переходя от двойного интеграла к повторному,
получаем следующую формулу для вычисления тройного интеграла:
Таким образом, для вычисления тройного интеграла требуется последовательно вычислить три
определённых интеграла.
Вычисляются эти интегралы от самого внутреннего (по переменной z
) к самому
внешнему (по переменной x
). Для удобства восприятия последовательности вычислений три
"вложенных" интеграла можно записать так:
.
Из этой записи уже однозначно видно, что:
- сначала нужно интегрировать функцию f
(x
, y
, z
)
по переменной z
, а в качестве пределов интегрирования взять уравнения z
= z
1
(x
, y
)
и
z
= z
2
(x
, y
)
поверхностей ограничивающих область V
снизу и сверху;
- y
y
= y
1
(x
)
и
y
= y
2
(x
)
поверхностей,
ограничивающих область V
с боковых сторон;
- получившийся на предыдущем шаге результат интегрировать по переменной x
, а в качестве пределов
интегрирования взять уравнения x
= a
и x
= b
поверхностей, ограничивающих область V
по глубине.
Пример 1.
Пусть от тройного интеграла можно перейти к повторному интегралу
-
последовательности трёх определённых интегралов. Вычислить этот повторный интеграл.
Решение. Вычисление повторного интеграла всегда начинается с последнего интеграла:
.
Вычислим второй интеграл - по переменной y
:
.
x
:
.
Ответ: данный повторный интеграл и соответствующий ему тройной интеграл равен 10.
Пример 2.
Вычислить тройной интеграл
,
где V
- параллелепипед, ограниченный плоскостями
x
= − 1
, x
= + 1
,
y
= 0
, y
= 1
,
z
= 0
, z
= 2
.
Решение. Пределы интегрирования для всех трёх определённых интегралов однозначно заданы
уравнениями поверхностей, ограничивающих параллелепипед. Поэтому сразу сводим данный тройной интеграл к последовательности трёх определённых интегралов:
.
z
.
Вычисляем интеграл "в серединке" - по переменной y
. Получаем;
.
Теперь вычисляем самый внешний интеграл - по переменной x
:
Ответ: данный тройной интеграл равен -2.
Пример 3.
Вычислить тройной интеграл
,
где V
x
+ y
+ z
= 1
и координатными плоскостями
x
= 0
, y
= 0
,
z
= 0
. Область V
проецируется на плоскость xOy
в треугольник D
, как показано
на рисунке ниже.
Решение.
Расставим сначала пределы интегрирования. Для интеграла по переменной z
нижний предел
интегрирования задан однозначно: z
= 0
. Чтобы получить верхний
предел, выразим z
из x
+ y
+ z
= 1
.
Получаем 1 − x
− y
. Для интеграла
по переменной y
нижний предел интегрирования задан однозначно: y
= 0
.
Для получения верхнего предела выразим y
из x
+ y
+ z
= 1
,
считая при этом, что z
= 0
(так как линия расположена в плоскости xOy
).
Получаем: 1 − x
.
Сводим данный тройной интеграл к последовательности трёх определённых интегралов:
.
Вычисляем самый внутренний интеграл - по переменной z
, считая икс и игрек константами. Получаем:
.
y
. Получаем:
x
:
Ответ: данный тройной интеграл равен 1/8.
Вычислить тройной интеграл самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 4.
Вычислить тройной интеграл
,
где V
- пирамида, ограниченная плоскостью
x
+ y
+ z
= 1
и координатными плоскостями
x
= 0
, y
= 0
,
z
= 0
.
Расстановка пределов интегрирования при переходе к последовательности трёх интегралов
Бывает, что студенты, у которых не вызывает особых трудностей непосредственное вычисление
интегралов, не могут освоиться в расстановке пределов интегрирования при переходе от тройного интеграла к
последовательности трёх определённых интегралов. В этом деле действительно требуется некоторая натренированность.
В первом примере область интегрирования V
представляла собой параллелепипед,
с которым всё понятно: со всех сторон его ограничивают плоскости, а значит, пределы интегрирования однозначно
заданы уравнениями плоскостей. Во втором примере - пирамида: здесь уже требовалось чуть больше подумать и выразить
один из пределов из уравнения. А если область V
ограничивают не плоские
поверхности? Нужно, конечно, определённым образом осмотреть область V
.
Начнём с примера "пострашнее", чтобы почувствовать "обстановку, приближенную к боевой".
Пример 5.
Расставить пределы интегрирования при переходе от тройного интеграла,
в котором область V
- эллипсоид
.
Решение. Пусть центр эллипсоида - начало координат, как показано на рисунке выше. Посмотрим на эллипсоид снизу.
Снизу его ограничивает поверхность, являющаяся той части поверхности эллипсоида, которая расположена
ниже плоскости xOy
z
и полученное выражение
со знаком минус будет нижним пределом интегрирования по переменной z
:
.
Теперь посмотрим на эллипсоид сверху.
Здесь его ограничивает поверхность, являющаяся той части поверхности эллипсоида, которая расположена
выше оси xOy
. Следовательно, нужно выразить из уравнения эллипсоида z
и полученное выражение
будет верхним пределом интегрирования по переменной z
:
.
Проекцией эллипсоида на плоскость xOy
является эллипсоид. Его уравнение:
Чтобы получить нижний предел интегрирования по переменной y
, нужно выразить
y
из уравнения эллипсоида и взять полученное выражение со знаком минус:
.
Для верхнего предела интегрирования по переменной y
то же выражение
со знаком плюс:
Что касается интегрирования по переменной x
, то область V
ограничена по глубине плоскостями. Следовательно, пределы интегрирования по переменной x
можно
представить как координаты задней и передней границ области. В случае эллипсоида ими будут взятые с отрицательным
и положительным знаками величины длин полуоси
a
: x
1
= − a
и
x
2
= a
.
Таким образом, последовательность интегралов для вычисления объёма эллипсоида следующая:
,
где "игрек первое", "игрек второе", "зет первое" и "зет второе" - полученные выше выражения.
Если у Вас есть желание и отвага вычислить этот интеграл и, таким образом, объём эллипсоида, то вот ответ:
4πabc
/3
.
Следующие примеры - не такие страшные, как только что рассмотренный. При этом они предполагают
не только расстановку пределов интегрирования, но и вычисление самого тройного интеграла. Проверьте,
чему вы научились, следя за решением "страшного" примера. Думать при расстановке пределов всё равно
придётся.
Пример 6.
Вычислить тройной интеграл
если область интегрирования ограничена плоскостями
x
+ y
= 1
,
x
+ 2y
= 4
,
y
= 0
,
y
= 1
,
z
= 1
,
z
= 5
.
Решение. "Курортный" пример по сравнению с примером 5, так как пределы интегрирования
по "игрек" и "зет" определены однозначно. Но придётся разобраться с пределами интегрирования по "иксу".
Проекцией области интегрирования на плоскость xOy
является трапеция ABCD
.
В этом примере выгоднее проецировать трапецию на ось Oy
, иначе, чтобы вычислить тройной
интеграл, на придётся разделить фигуру на три части. В примере 4 мы начинали осмотр области интегрирования
снизу, и это обычный порядок. Но в этом примере мы начинаем осмотр сбоку или, если так проще, положили
фигуру набок и считаем, что смотрим на неё снизу. Можем найти пределы интегирования по "иксу"
чисто алгебраически. Для этого выразим "икс" из первого и второго уравнений, данных в условии примера.
Из первого уравения получаем нижний предел 1 − y
, из
второго - верхний 4 − 2y
.
Сведём данный тройной
интеграл к последовательности трёх определённых интегралов:
.
Внимание! В этом примере самый внешний интеграл - не по переменной "икс", а по
переменной "игрек", а "средний" - по переменной "икс"! Здесь мы применили смену порядка интегрирования,
с которой ознакомились при изучении двойного интеграла. Это связано с тем, что, как уже говорилось,
мы начали осмотр области интегрирования не снизу, а сбоку, то есть спроецировали её не на ось
Ox
, на на ось Oy
.
Вычисляем самый внутренний интеграл - по переменной z
, считая икс и игрек константами. Получаем:
Вычисляем средний интеграл - по переменной x
. Получаем:
.
Наконец, вычисляем самый внешний интеграл - по переменной y
:
Ответ: данный тройной интеграл равен 43.
Пример 7.
Вычислить тройной интеграл
,
если область интегрирования ограничена поверхностями
x
= 0
,
y
= 0
,
z
= 2
,
x
+ y
+ z
= 4
.
Решение. Область V
(пирамида MNRP
) является
правильной. Проекцией области V
на плоскость xOy
является треугольник AOB
.
Нижние пределы интегрирования по всем переменным заданы в условии примера.
Найдём верхний предел интегирования по "иксу". Для этого выразим "икс" из четвёртого уравнения,
считая "игрек" равным нулю, а "зет" равным двум. Получаем x
= 2
.
Найдём верхний предел интегирования по "игреку". Для этого выразим "игрек" из того же четвёртого
уравнения, считая "зет" равным двум, а "икс" - переменной величиной. Получаем
y
= 2 − x
. И, наконец,
найдём верхний предел интегрирования по переменной "зет". Для этого выразим "зет" из того же
четвёртого уравнения, считая "игрек" и "зет" переменными величинами. Получаем
z
= 4 − x
− y
.
Сведём данный тройной
интеграл к последовательности трёх определённых интегралов:
.
Вычисляем самый внутренний интеграл - по переменной z
, считая икс и игрек константами. Получаем:
.
Вычисляем средний интеграл - по переменной y
. Получаем:
.
Вычисляем самый внешний интеграл - по переменной x
и окончательно находим
данный тройной интеграл:
Ответ: данный тройной интеграл равен 2.
Замена переменных в тройном интеграле и цилиндрические координаты
Если проекцией области интегрирования на какую-либо из координатных плоскостей
является круг или часть круга, то тройной интеграл проще вычислисть, перейдя к цилиндрическим координатам.
Цилиндрическая система координат является обобщением полярной системы координат
на пространство. В системе цилиндрических координат точка M
характеризуется тремя величинами
(r
, φ
, z
), где r
- расстояние от начала координат до проекции N
точки M
на плоскость xOy
, φ
- угол между вектором ON
и положительным
направлением оси Ox
, z
- аппликата точки M
(рисунок ниже).
Прямоугольные координаты
x
, y
, z
с цилиндрическими
координатами r
, φ
, z
связывают формулы
x
= r
cosφ
,
y
= r
sinφ
,
z
= z
.
Для того, чтобы в тройном интеграле перейти к цилиндрическим координатам, нужно
подынтегральную функцию выразить в виде функции переменных r
, φ
, z
:
То есть переход от прямогольных координат к цилиндрическим осуществляется следующим образом:
Тройной интеграл в цилиндрических координатах вычисляется так же как и в декартовых
прямоугольных координатах, путём преобразования в последовательность трёх определённых интегралов:
Пример 8.
Вычислить тройной интеграл
переходом к цилиндрическим координатам, где V
-
область, ограниченная поверхностями и
.
Решение. Так как область V
на плоскость xOy
проектируется в круг , то
координата φ
изменяется в пределах от 0 до 2π
, а координата r
- от r
=0 до
r
=1. Постоянному значению
в пространстве соответствует цилиндр .
Рассматривая пересечение этого цилиндра с областью V
, получаем изменение
ординаты z
от z
= r
²
до
z
= 1
. Переходим к цилиндрическим координатам и получаем.
1. Цилиндрические координаты представляют соединение полярных координат в плоскости xy с обычной декартовой аппликатой z (рис. 3).
Пусть M(x, y, z) - произвольная точка в пространстве xyz, P - проекция точки M на плоскость xy. Точка M однозначно определяется тройкой чисел - полярные координаты точки P, z - аппликата точки M. Формулы, связывающие их с декартовыми, имеют вид
Якобиан отображения (8)
Пример 2
.
Вычислить интеграл
где T - область, ограниченная поверхностями
Решение. Перейдём в интеграле к сферическим координатам по формулам (9). Тогда область интегрирования можно задать неравенствами
А, значит,
Пример 3
Найти объём тела, ограниченного:
Имеем: x 2 +y 2 +z 2 =8 - сфера радиуса R= v8 с центром в точке O(000),
Верхняя часть конуса z 2 =x 2 +y 2 с осью симметрии Оz и вершиной в точке O (рис. 2.20).
Найдем линию пересечения сферы и конуса:
И так как по условию z ? 0, то
Окружность R=2, лежащая в плоскости z=2.
Поэтому согласно (2.28)
где область U ограничена сверху
(часть сферы),
(часть конуса);
область U проектируется на плоскости Оху в область D - круг радиуса 2.
Следовательно, целесообразно перейти в тройном интеграле к цилиндрическим координатам, используя формулы (2.36):
Пределы изменения ц, r находим по области D v полный круг R=2 с центром в точке О, тем самым: 0?ц?2р, 0?r?2. Таким образом, область U в цилиндрических координатах задается следующими неравенствами:
Заметим, что
Скачать с Depositfiles
Тройной интеграл.
Контрольные вопросы.
Тройной интеграл, его свойства.
Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах.
Вычисление тройного интеграла в сферических координатах.
Пусть функция u
= f
(x,y
,z
) определена в ограниченной замкнутой области V
пространства R
3 . Разобьём область V
произвольным образом наn
элементарных замкнутых областей V
1 , … , V
n
, имеющих объемы
V
1 , …,
V
n
соответственно. Обозначим d
– наибольший из диаметров областей V
1 , … , V
n
. В каждой области V
k
выберем произвольную точку P
k
(x
k
, y
k
, z
k
)и составим интегральную сумму
функции f
(x
, y
, z
)
S
=
Определение.
Тройным интегралом
от функции f
(x
, y
, z
) по области V
называется предел интегральной суммы
,
если он существует.
Таким образом,
(1)
Замечание.
Интегральная сумма S
зависит от способа разбиения области V
и выбора точек P
k
(k
=1, …, n
).
Однако, если существует предел, то он не зависит от способа разбиения области V
и выбора точек P
k
. Если сравнить определения двойного и тройного интегралов, то легко увидеть в них полную аналогию.
Достаточное условие существования тройного интеграла.
Тройной интеграл (13) существует, если функция f
(x
, y
, z
) ограничена в V
и непрерывна в V
, за исключением конечного числа кусочно-гладких поверхностей, расположенных в V
.
Некоторые свойства тройного интеграла.
1) Если С
– числовая константа, то
3)
Аддитивностьпо области. Если область V
разбита на области V
1
и V
2 , то
4)
Объем тела V
равен
(2
)
Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.
Пусть D
проекция тела V
на плоскость xOy
, поверхности z
=φ
1 (x
, y
), z
=φ
2 (x
, y
) ограничивают тело V
снизу и сверху соответственно.
Это значит, что
V
=
{(x
, y
, z
): (x
, y
)D
, φ
1 (x
, y
) ≤ z ≤ φ
2 (x
, y
)}.
Такое тело назовем z
-цилиндрическим. Тройной интеграл (1) по z
-цилиндрическому телу V
вычисляется переходом к повторному интегралу, состоящему из двойного и определенного интегралов:
(3
)
В этом повторном интеграле сначала вычисляется внутренний определенный интеграл по переменной z
, при этом x
, y
считаются постоянными. Затем вычисляется двойной интеграл от полученной функции по области D
.
Если V
x-
цилиндрическое или y-
цилиндрическое тело, то верны соответственно формулы
В первой формуле D
проекция тела V
на координатную плоскость yOz
,
а во второй
на плоскость xOz
Примеры.
1) Вычислитьобъем тела V
, ограниченного поверхностями z
= 0,
x
2
+
y
2
= 4,
z
=
x
2
+
y
2
.
Решение. Вычислим объём при помощи тройного интеграла по формуле (2)
Перейдем к повторному интегралу по формуле (3).
Пусть D
круг x
2
+ y
2
≤
4,
φ
1
(x
,
y
)
= 0,
φ
2
(x
,
y
)=
x
2
+ y
2
.
Тогда по формуле (3) получим
Для вычисления этого интеграла перейдем к полярным координатам. При этом круг D
преобразуется во множество
D
r
=
{
(r
,
φ
) : 0
≤ φ
< 2
π
, 0
≤ r
≤ 2}
.
2) Тело V
ограничено поверхностямиz=y
,
z= –y
,
x=
0
,
x=
2,
y=
1.
Вычислить
Плоскости z = y
,
z = –y
ограничиваюттелосоответственно снизу и
сверху,
плоскости x=
0
,
x=
2
ограничивают тело соответственно сзади и спереди, а плоскость y=
1
ограничиваетсправа. V –
z-
цилиндрическое тело, его проекцией D
на плоскость хОу
является прямоугольник ОАВС
. Положим φ
1
(x
,
y
)
=
–y