Разделы сайта
Выбор редакции:
- Праздники на английском языке с переводом Проект по английскому языку 23 февраля
- Картографические проекции и их классификация Для чего нужны картографические проекции
- «Уроки французского» анализ История создания рассказа «Уроки французского»
- Равнодушие и отзывчивость Как написать хорошее сочинение
- Условия равновесия твердого тела
- Задачи на разрезание и перекраивание фигур
- Процессы жизнедеятельности как пример необратимых процессов
- Константин Сперанский «Кто знает, о чем думает Амалия?
- Ассоциации к слову «Звук Ассоциация к слову звук фон звучание буква
- Предсказания рэя брэдбери, которые сбылись Предсказания Рэя Брэдбери
Реклама
Виды картографических проекций и их сущность. Картографическая проекция. Виды искажений в картографических проекциях. Классификация проекций Карта полушарий построена на основе какой проекции |
Географическими картами человек пользуется с глубокой древности. Первые попытки изобразить были предприняты еще в Древней Греции такими учеными, как Эратосфен и Гиппарх. Естественно, с тех пор картография как наука далеко продвинулась вперед. Современные карты создаются с помощью съемки со спутников и с использованием компьютерных технологий, что, конечно же, способствует увеличению их точности. И все же, на каждой географической карте присутствуют некоторые искажения относительно натуральных форм, углов или расстояний на земной поверхности. Характер этих искажений, а, следовательно, и точность карты, зависит от видов картографических проекций, использованных при создании конкретной карты. Понятие картографическая проекцияРазберем подробнее, что такое картографическая проекция и какие их виды применяются в современной картографии. Картографическая проекция - это изображение на плоскости. Более глубокое с научной точки зрения определение звучит так: картографическая проекция - это способ отображения точек поверхности Земли на некоторой плоскости, при котором между координатами соответствующих точек отображаемой и отображенной поверхностей устанавливается некоторая аналитическая зависимость. Как строится картографическая проекция?Построение любых видов картографических проекций происходит в два этапа.
Искажение проекцийА вы не задумывались, почему на разных картах очертания материков немного различаются? На одних картографических проекциях некоторые части света выглядят больше или меньше относительно каких-либо ориентиров, чем на других. Все дело в искажении, с которым проекции Земли переносятся на плоскую поверхность. Но почему картографические проекции отображают в искаженном виде? Ответ довольно прост. Сферическую поверхность не представляется возможным развернуть на плоскости, избежав складок или разрывов. Поэтому и изображение с нее нельзя отобразить, избежав искажения. Методы получения проекцийИзучая картографические проекции, их виды и свойства необходимо упомянуть о методах их построения. Итак, картографические проекции получают, используя два основных метода:
В основе геометрического метода лежат закономерности линейной перспективы. Наша планета условно принимается сферой некоторого радиуса и проецируется на цилиндрическую или коническую поверхность, которая может либо касаться, либо рассекать ее. Проекции, полученные подобным способом, называются перспективными. В зависимости от положения точки наблюдения относительно поверхности Земли перспективные проекции разделяют на виды:
Аналитический метод построения картографических проекций базируется на математических выражениях, связывающих точки на сфере относимости и плоскости отображения. Такой метод является более универсальным и гибким, позволяя создавать произвольные проекции по заранее заданному характеру искажения. Виды картографических проекций в географииДля создания географических карт используют множество видов проекций Земли. Их классифицируют по различным признакам. В России применяется классификация Каврайского, которая использует четыре критерия, определяющих основные виды картографических проекций. В качестве характерных классифицирующих параметров используют:
Итак, какие существуют виды картографических проекций согласно данной классификации? Классификация проекцийПо характеру искаженияКак упоминалось выше, искажение, в сущности, является неотъемлемым свойством любой проекции Земли. Искажена может быть любая характеристика поверхности: длина, площадь или угол. По типу искажений выделяют:
По форме отображения координатных линий нормальной сеткиТакая классификация является максимально наглядной и, следовательно, наиболее легкой для восприятия. Отметим, однако, что данный критерий относится только к проекциям, ориентированным нормально к точке наблюдения. Итак, исходя из данного характерного признака, различают следующие виды картографических проекций: Круговые , где параллели и меридианы представляют окружностями, а экватор и средний меридиан сетки в виде прямых линий. Подобные проекции применяют для изображения поверхности Земли в целом. Примерами круговых проекций могут служить равноугольная проекция Лагранжа, а также произвольная проекция Гринтена. Азимутальные . В данном случае параллели представляют в виде концентрических окружностей, а меридианы в виде пучка расходящихся радиально из центра параллелей прямых. Подобная разновидность проекций используется в прямом положении для отображения полюсов Земли с прилегающими территориями, а в поперечном в качестве знакомой каждому с уроков географии карты западного и восточного полушарий. Цилиндрические , где меридианы и параллели представлены прямыми пересекающимися нормально линиями. С минимальным искажением здесь отображаются территории, прилегающие к экватору или же растянутые вдоль некоторой стандартной широты. Конические , представляющие собой развертку боковой поверхности конуса, где линии параллелей являются дугами окружностей с центром в вершине конуса, а меридианов - направляющими, расходящимися из вершины конуса. Такие проекции наиболее точно изображают территории, лежащие в средних широтах. Псевдоконические проекции похожи на конические, только меридианы в данном случае изображаются кривыми линиями, симметричными относительно прямолинейного осевого меридиана сетки. Псевдоцилиндрические проекции напоминают цилиндрические, только, также, как и в псевдоконических, меридианы изображаются кривыми линиями, симметричными осевому прямолинейному меридиану. Используются для изображения Земли целиком (например, эллиптическая проекция Мольвейде, равновеликая синусоидальная Сансона и т. д.). Поликонические , где параллели изображаются в виде окружностей, центры которых расположены на среднем меридиане сетки или его продолжении, меридианы в виде кривых, расположенных симметрично прямолинейному По положению точки полюса в нормальной системе координат
По способу примененияПо способу использования выделяют следующие виды картографических проекций:
Достоинством как многополосных, так и многогранных проекций является высокая точность отображения в пределах каждой зоны. Однако весомым недостатком при этом является невозможность получения сплошного изображения. Разумеется, каждую картографическую проекцию можно классифицировать с использованием каждого из вышеперечисленных критериев. Так, знаменитая проекция Земли Меркатора является конформной (равноугольной) и поперечной (трансверсионной); проекция Гаусса-Крюгера - конформной поперечной цилиндрической и т. д. Картографической проекцией называется математически определенный способ отображения поверхности земного эллипсоида на плоскости. Он устанавливает функциональную зависимость между географическими координатами точек поверхности земного эллипсоида и прямоугольными координатами этих точек на плоскости, т.е. X = ƒ 1 (B , L ) и Y = ƒ 2 (В, L ). Картографические проекции классифицируются по характеру искажений, по виду вспомогательной поверхности, по виду нормальной сетки (меридианов и параллелей), по ориентировке вспомогательной поверхности относительно полярной оси и др. По характеру искажений выделяют следующие проекции: 1. равноугольные , которые передают величину углов без искажения и, следовательно, не искажают формы бесконечно малых фигур, а масштаб длин в любой точке остается одинаковым по всем направлениям. В таких проекциях эллипсы искажений изображаются окружностями разного радиуса (рис. 2 а ). 2. равновеликие , в которых отсутствуют искажения площадей, т.е. сохраняются соотношения площадей участков на карте и эллипсоиде, однако сильно искажаются формы бесконечно малых фигур и масштабы длин по разным направлениям. Бесконечно малые кружки в разных точках таких проекций изображаются равноплощадными эллипсами, имеющими разную вытянутость (рис. 2 б ). 3. произвольные , в которых имеются в разных соотношениях искажения и углов и площадей. Среди них выделяются равнопромежуточные, в которых масштаб длин по одному из главных направлений (меридианам или параллелям) остается постоянным, т.е. сохраняется длинна одной из осей эллипса (рис. 2 в ). По виду вспомогательной поверхности для проектирования выделяют следующие проекции: 1. Азимутальные , в которых поверхность земного эллипсоида переносится на касательную или секущую его плоскость. 2. Цилиндрические , в которых вспомогательной поверхностью служит боковая поверхность цилиндра, касательная к эллипсоиду или секущая его. 3. Конические , в которых поверхность эллипсоида переносится на боковую поверхность конуса, касательную к эллипсоиду или секущую его. По ориентировке вспомогательной поверхности относительно полярной оси проекции подразделяются на: а) нормальные , в которых ось вспомогательной фигуры совпадает с осью земного эллипсоида; в азимутальных проекциях плоскость перпендикулярна к нормали, совпадающей с полярной осью; б) поперечные , в которых ось вспомогательной поверхности лежит в плоскости земного экватора; в азимутальных проекциях нормаль вспомогательной плоскости лежит в экваториальной плоскости; в) косые , в которых ось вспомогательной поверхности фигуры совпадает с нормалью, находящейся между земной осью и плоскостью экватора; в азимутальных проекциях плоскость к этой нормали перпендикулярна. На рис.3 показаны различные положения плоскости, касательной к поверхности земного эллипсоида. Классификация проекций по виду нормальной сетки (меридианов и параллелей) является одной из основных. По этому признаку выделяется восемь классов проекций. а
б
в
Рис. 3. Виды проекций по ориентировке вспомогательной поверхности относительно полярной оси. а -нормальная; б -поперечная; в -косая. 1. Азимутальные. В нормальных азимутальных проекциях меридианы изображаются прямыми, сходящимися в одну точку (полюс) под углами, равными разности их долгот, а параллели - концентрическими окружностями, проведенными с общего центра (полюса). В косых и большинства поперечных азимутальных проекциях меридианы, исключая средний, и параллели представляют кривые линии. Экватор в поперечных проекциях - прямая линия. 2. Конические. В нормальных конических проекциях меридианы изображаются прямыми, сходящимися в одной точке под углами, пропорциональными соответствующим разностям долгот, а параллели - дугами концентрических окружностей с центром в точке схода меридианов. В косых и поперечных - параллели и меридианы, исключая средний, - кривые линии. 3. Цилиндрические. В нормальных цилиндрических проекциях меридианы изображаются равноотстоящими параллельными прямыми, а параллели - перпендикулярными к ним прямыми, в общем случае не равноотстоящими. У косых и поперечных проекциях параллели и меридианы, исключая средний, имеют вид кривых линий. 4. Поликонические. При построении этих проекций сеть меридианов и параллелей переносится на несколько конусов, каждый из которых развертывается в плоскость. Параллели, исключая экватор, изображаются дугами эксцентрических окружностей, центры которых лежат на продолжении среднего меридиана, имеющего вид прямой линии. Остальные меридианы - кривые, симметричные к среднему меридиану. 5. Псевдоазимутальные , параллели которых представляют концентрические окружности, а меридианы - кривые, сходящиеся в точке полюса и симметричные относительно одного или двух прямолинейных меридианов. 6. Псевдоконические , в которых параллели представляют собой дуги концентрических окружностей, а меридианы - кривые линии, симметричные относительно среднего прямолинейного меридиана, который может не изображаться. 7. Псевдоцилиндрические , в которых параллели изображаются параллельными прямыми, а меридианы - кривыми, симметричными относительно среднего прямолинейного меридиана, который может не изображаться. 8. Круговые , меридианы которых, исключая средний, и параллели, исключая экватор, изображаются дугами эксцентрических окружностей. Средний меридиан и экватор - прямые. Равноугольная поперечно-цилиндрическая проекция Гаусса – Крюгера. Зоны проекции. Порядок отсчета зон и колонн. Километровая сетка. Определение зоны листа топографической карты по оцифровке километровой сетки Территория нашей страны имеет очень большие размеры. Это приводит при ее переносе на плоскость к значительным искажениям. По этой причине при построении топографических карт в России на плоскость переносят не всю территорию, а отдельные ее зоны, протяженность которых по долготе составляет 6°. Для переноса зон применяется поперечная цилиндрическая проекция Гаусса – Крюгера (в России используется с 1928 г.). Сущность проекции заключается в том, что вся земная поверхность изображается меридиональными зонами. Такая зона получается в результате деления земного шара меридианами через 6°. На рис. 2.23 изображен касательный к эллипсоиду цилиндр, ось которого перпендикулярна малой оси эллипсоида. При построении зоны на отдельный касательный цилиндр эллипсоид и цилиндр имеют общую линию касания, которая проходит по среднему меридиану зоны. При переходе на плоскость он не искажается и сохраняет свою длину. Этот меридиан, проходящий посередине зоны, называется осевым меридианом. Когда зона спроектирована на поверхность цилиндра, он разрезается по образующим и развертывается в плоскость. При развертывании осевой меридиан изображается без искажения прямой РР′ и его принимают за ось X . Экватор ЕЕ′ также изображается прямой линией, перпендикулярной к осевому меридиану. Он принят за ось Y . Началом координат в каждой зоне служит пересечение осевого меридиана и экватора (рис. 2.24). В результате, каждая зона представляет собой координатную систему, в которой положение любой точки определяется плоскими прямоугольными координатами X и Y . Поверхность земного эллипсоида делится на 60 шестиградусных по долготе зон. Счет зон ведется от Гринвичского меридиана. Первая шестиградусная зона будет иметь значение 0°– 6°, вторая зона 6°–12° и т. д. Принятая в России зона шириной 6° совпадает с колонной листов Государственной карты масштаба 1:1 000 000, но номер зоны не совпадает с номером колонны листов этой карты. Счет зон ведется от Гринвичского меридиана, а счет колонн – от меридиана 180°. Как мы уже говорили, началом координат каждой зоны является точка пересечения экватора со средним (осевым) меридианом зоны, который изображается в проекции прямой линией и является осью абсцисс. Абсциссы считаются положительными к северу от экватора и отрицательными к югу. Осью ординат является экватор. Ординаты считаются положительными к востоку и отрицательными к западу от осевого меридиана (рис. 2.25). Так как абсциссы отсчитываются от экватора к полюсам, то для территории России, расположенной в северном полушарии, они будут всегда положительными. Ординаты же в каждой зоне могут быть как положительными, так и отрицательными, в зависимости от того, где находится точка относительно осевого меридиана (на западе или востоке). Чтобы удобно было делать вычисления, необходимо избавиться от отрицательных значений ординат в пределах каждой зоны. Кроме того, расстояние от осевого меридиана зоны до крайнего меридиана в самом широком месте зоны примерно равно 330 км (рис. 2.25). Чтобы делать расчеты, удобнее брать расстояние, равное круглому числу километров. С этой целью ось X условно отнесли к западу на 500 км. Таким образом, за начало координат в зоне принимают точку с координатами x = 0, y = 500 км. Поэтому ординаты точек, лежащих западнее осевого меридиана зоны, будут иметь значения меньше 500 км, а точек, лежащих восточнее осевого меридиана, – более 500 км. Так как координаты точек повторяются в каждой из 60 зон, впереди ординаты Y указывают номер зоны. Для нанесения точек по координатам и определения координат точек на топографических картах имеется прямоугольная сетка. Параллельно осям X и Y проводят линии через 1 или 2 км (взятых в масштабе карты), и поэтому их называют километровыми линиями , а сетку прямоугольных координат – километровой сеткой . Все картографические проекции классифицируются по ряду признаков, в том числе, по характеру искажений, виду меридианов и параллелей нормальной картографической сетки, положению полюса нормальной системы координат. 1. Классификация картографических проекцийпо характеру искажений: а) равноугольные, или конформные оставляют без искажений углы и форму контуров, но имеют значительные искажения площадей. Элементарная окружность в таких проекциях всегда остается окружностью, но размеры ее сильно меняются. Такие проекции особенно удобны для определения направлений и прокладки маршрутов по заданному азимуту , поэтомy их всегда используют на навигационных картах., Эти проекции могут быть описаны уравнениями в характеристиках вида: m=n=a=b=m q=90 0 w=0 m=n Рис. Искажения в равноугольной проекции. Карта мира в проекции Меркатора б) равновеликие, или эквивалентные - сохраняют площади без искажений, однако на них значительно нарушены углы и формы, что особенно заметно на больших территориях. Например, на карте мира приполярные области выглядят сильно сплющенными. Эти проекции могут быть описаны уравнениями вида Р = 1. Рис. Искажения в равновеликой проекции. Карта мира в проекции Меркатора в) равнопромежуточные (эквидистантные). В этих проекциях линейный масштаб по одному из главных направлений постоянен и обычно равен главному масштабу карты, т. е. имеет место либо а = 1, либо b = 1; г) произвольные. Не сохраняют ни углов, ни площадей. 2. Классификация картографических проекций по способу построенияВспомогательными поверхностями при переходе от эллипсоида или шара к карте могут быть плоскость, цилиндр, конус, серия конусов и некоторые другие геометрические фигуры. 1) Цилиндрические проекции — проектирование шара (эллипсоида) ведется на поверхность касательного или секущего цилиндра, а затем его боковая поверхность разворачивается в плоскость. В этих проекциях параллели нормальных сеток есть прямые параллельные линии, меридианы - также прямые линии, ортогональные к параллелям. Расстояния между меридианами равны и всегда пропорциональны разности долгот Рис. Вид картографической сетки цилиндрической проекции Условные проекции — проекции, для которых нельзя подобрать простых геометрических аналогов. Их строят, исходя из каких-либо заданных условий, например желательного вида географической сетки, того или иного распределения искажений на карте, заданного вида сетки и др., полученные путем преобразования одной или нескольких сходных проекций. Псевдоцилиндрические проекции : параллели изображаются прямыми параллельными линиями, меридианы - кривыми линиями, симметричными относительно среднего прямолинейного меридиана, который всегда ортогонален параллелям (применяют для карт мира и Тихого океана). Рис. Вид картографической сетки псевдоцилиндрической проекции Полагаем, что географический полюс совпадает с полюсом нормальной системы координат а) Нормальная (прямая) цилиндрическая - если ось цилиндра совпадает с осью вращения Земли, а его поверхность касается шара по экватору (или сечет его по па-раллелям). Тогда меридианы нормальной сетки предстают в виде равноотстоящих параллельных прямых, а параллели — в виде пря-мых, перпендикулярных к ним. В таких проекциях меньше всего искажений в тропических и приэкваториальных областях. б) поперечная цилиндрическая проекция - ось цилиндра расположена в плоскости экватора. Цилиндр касается шара по меридиану, искажения вдоль него отсутствуют, и следовательно, в такой проекции наиболее выгодно изображать территории, вытянутые с севера на юг. в) косая цилиндрическая - ось вспомогательного цилиндра расположена под углом к плоскости экватора. Она удобна для вытянутых территорий, ориентированных на северо-запад или северо-восток. 2) Конические проекции — поверхность шара (эллипсоида) проектируется на поверхность касательного или секущего конуса, после чего она как бы разрезается по образующей и разворачивается в плоскость. Различают : · нормальную (прямую) коническую проекцию, когда ось конуса совпа-дает с осью вращения Земли. Меридианы представляют собой прямые, расходящиеся из точки полюса, а параллели — дуги концентрических окружностей. Воображаемый конус каса-ется земного шара или сечет его в районе средних широт, поэто-му в такой проекции удобнее всего картографировать территории России, Канады, США, вытянутые с запада на восток в средних широтах. · поперечную коническую — ось конуса нежит в плоскости экватора · косую коническую — ось конуса на-клонена к плоскости экватора. Псевдоконические проекции — такие, в которых все параллели изображаются дугами концентрических окружностей (как в нормальных конических), средний меридиан — прямая линия, а остальные меридианы — кривые, причем кривизна их возрастает с удалением от среднего меридиана. Применяются для карт России, Евразии, других материков. Поликонические проекции — проекции, получаемые в результа-те проектирования шара (эллипсоида) на множество конусов. В нормальных поликонических проекциях параллели представлены дугами эксцентрических окружностей, а меридианы — кривые, симметричные относительно прямого среднего меридиана. Чаще всего эти проекции применяются для карт мира. 3) Азимутальные проекции — поверхность земного шара (эллип-соида) переносится на касательную или секущую плоскость. Если плоскость перпендикулярна к оси вращения Земли, то получается нормальная (полярная) азимутальная проекция. В этих проекциях параллели изображаются одноцентровыми окружностями, меридианы - пучком прямых линий с точкой схода, совпадающей с центром параллелей. В этой проекции всегда кар-тографируют полярные области нашей и других планет. а — нормальная или полярная проекция на плоскость; в — сетка в поперечной (экваториальной) проекции; г — сетка в косой азимутальной проекции. Рис. Вид картографической сетки азимутальной проекции Если плоскость проекции перпендикулярна к плоскости эква-тора, то получается поперечная (экваториальная) азимутальная проекция. Она всегда используется для карт полушарий. А если проектирование выполнено на касательную или секущую вспомогательную плоскость, находящуюся под любым углом к плоскости экватора, то получается косая азимутальная проекция. Среди азимутальных проекций выделяют несколько их разно-видностей, различающихся по положению точки, из которой ве-дется проектирование шара на плоскость. Псевдоазимутальные проекции — видоизмененные азимуталь-ные проекции. В полярных псевдоазимутальных проекциях парал-лели представляют собой концентрические окружности, а мери-дианы — кривые линии, симметричные относительно одного или двух прямых меридианов. Поперечные и косые псевдоазимуталь-ные проекции имеют общую овальную форму и обычно применя-ются для карт Атлантического океана или Атлантического океана вместе с Северным Ледовитым. 4) Многогранные проекции — проекции, получаемые путем про-ектирования шара (эллипсоида) на поверхность касательного или секущего многогранника. Чаще всего каждая грань представляет собой равнобочную трапецию. 3) Классификация картографических проекций по положению полюса нормальной системы координатВ зависимости от положения полюса нормальной системы Р о , все проекции подразделяются на следующие: а) прямые или нормальные - полюс нормальной системы Р о совпадает с географическим полюсом (φ о = 90°); б) поперечные или экваториальные - полюс нормальной системы Р о лежит на поверхности в плоскости экватора (φ о = 0°); в) косые или горизонтальные - полюс нормальной системы Р о располагается между географическим полюсом и экватором (0° < φ о <90°). В прямых проекциях основная и нормальная сетки совпадают. В косых и поперечных проекциях такого совпадения нет. Рис. 7. Положение полюса нормальной системы (Р о) в косой картографической проекции Карта — плоское, искаженное изображение земной поверхности, на котором искажения подчинены определенному математическому закону. Картографические проекции по способу построения картографической сетки делятся на: а) б) в) Рис. 2. Поперечная цилиндрическая проекция y = R ?q; m = n = sec ?q – радиус Земли (м); где а = 3437,74?. Рис. 3. Квазилоксодромия Кq = ИК? Q Рис. 4. Перспективные проекции а) б) в) Рис. 6. Равноугольная проекция Гаусса Ввиду ограниченной ширины зоны кратчайшие линии на картах в проекции Гаусса, изображаются практически прямыми линиями, а масштаб по всей карте постоянен. Мировые и экранные координаты Проекции При использовании любых графических устройств обычно используют проекции. Проекция задает способ отображения объектов на графическом устройстве. Мы будем рассматривать только проекции на плоскость. Проецирование - отображение точек, заданных в системе координат с размерностью N, в точки в системе меньшей размерности. Проекторы (проецирующие лучи) - отрезки прямых, идущие из центра проекции через каждую точку объекта до пересечения с плоскостью проекции (картинной плоскостью). При отображении пространственных объектов на экране или на листе бумаги с помощью принтера необходимо знать координаты объектов. Мы рассмотрим две системы координат. Первая - мировые координаты, которые описывают истинное положение объектов в пространстве с заданной точностью. Вторая - система координат устройства отображения, в котором осуществляется вывод изображения объектов в заданной проекции. Назовем систему координат графического устройства экранными координатами (хотя это устройство и не обязательно должно быть подобно монитору компьютера). Пусть мировые координаты будут трехмерными прямоугольными координатами. Где должен размещаться центр координат, и какими будут единицы измерения вдоль каждой оси, для нас сейчас не очень важно. Важно то, что для отображения мы будем знать любые числовые значения координат отображаемых объектов. Для получения изображения в определенной проекции необходимо вычислить координаты проекции. Для синтеза изображения на плоскости экрана или бумаге используем двумерную систему координат. Основная задача - задать преобразования координат из мировых в экранные. Изображение объектов на плоскости (экране дисплея) связано с геометрической операцией проектированием. В компьютерной графике используется несколько видов проектирования, но основных - два вида: параллельное и центральное. Проектирующий пучок лучей направляется через объект на картинную плоскость, на которую в дальнейшем находят координаты пересечения лучей (или прямых) с этой плоскостью. Рис. 2.14. Основные типы проекций При центральном проектировании все прямые исходят из одной точки. При параллельном - считается, что центр лучей (прямых) бесконечно удален, а прямые параллельны. Каждый из этих основных классов разбивается еще на несколько подклассов в зависимости от взаимного расположения картинной плоскости и координатных осей.
Рис. 2.15. Классификация плоских проекций
У параллельных проекций центр проекции расположен в бесконечности от плоскости проекции:
У центральных проекций центр проекции находится на конечном расстоянии от плоскости проекции. Имеют место так называемые перспективные искажения. Ортогональные проекции (основные виды) Рис. 2.16. Ортогональные проекции
Матрица ортогональной проекции на плоскость YZ вдоль оси Х имеет вид: Если же плоскость параллельна, то эту матрицу надо умножить на матрицу сдвига, тогда: где р - сдвиг по оси Х; Для плоскости ZX вдоль оси Y где q - сдвиг по оси Y; Для плоскости XY вдоль оси Z: где R - сдвиг по оси Z. При аксонометрической проекции проектирующие прямые перпендикулярны плоскости картинки. Изометрия - все три угла между нормалью картинки и координатными осями равны. Диметрия - два угла между нормалью картинки и координатными осями равны. Триметрия - нормальный вектор плоскости картинки образует с координатными осями различные углы. Каждый из трех видов этих проекций получается комбинацией поворотов, за которой следует параллельное проектирование.
Изометрическая проекция Рис. 2.17. Изометрические проекции Диметрическая проекция Рис. 2.18. Диметрические проекции Косоугольные проекции Классический пример параллельной косоугольной проекции - кабинетная проекция (рис. 2. 26). Эта проекция часто используется в математической литературе для черчения объемных форм. Ось у изображается наклоненной под углом 45 градусов. Вдоль оси у масштаб 0. 5, вдоль других осей - масштаб 1. Запишем формулы вычисления координат плоскости проецирования Здесь, как и раньше, ось Υ пр направлена вниз. Для косоугольных параллельных проекций лучи проецирования не перпендикулярны плоскости проецирования. Рис. 2.19. Косоугольные проекции Теперь относительно центральной проекции. Поскольку для нее лучи проецирования не параллельны, то будем считать нормальной такую центральную проекцию, главная ось которой перпендикулярна плоскости проецирования. Для центральной косоугольной проекции главная ось не перпендикулярна плоскости проецирования. Рассмотрим пример центральной косоугольной проекции, которая показывает параллельными линиями все вертикальные линии изображаемых объектов. Расположим плоскость проецирования вертикально, ракурс показа зададим углами а, β и положением точки схода (рис. 2. 21).
Рис. 2.21. Вертикальная центральная косоугольная проекция: а – расположение плоскости проецирования, б – вид с левого торца плокости проецирования Будем считать, что ось Ζ видовых координат располагается перпендикулярно плоскости проецирования. Центр видовых координат - в точке (хс , ус, zc). Запишем соответствующее видовое преобразование: Как и для нормальной центральной проекции, точка схода лучей проецирования располагается на оси Ζ на расстоянии Ζ k от центра видовых координат. Необходимо учесть наклон главной оси косоугольной проекции. Для этого достаточно отнять от Υ пр длину отрезка 0-0" (рис. 2.21). Эта длина равняется (Ζ k - Ζ пл ) ctgβ. Теперь запишем результат - формулы вычисления координат косоугольной вертикальной проекции где Пх и Пу - это функции проецирования для нормальной проекции. Следует отметить, что для такой проекции нельзя сделать вид сверху (β = 0), поскольку здесь сtgP = ∞. Свойство рассмотренной вертикальной косоугольной проекции, заключающееся в сохранении параллельности вертикальных линий, иногда полезно, например, при изображении домов в архитектурных компьютерных системах. Сравните рис. 2. 22 (верх) и рис. 2.22 (низ). На нижнем рисунке вертикали изображаются вертикалями - дома не "разваливаются".
Рис. 2.21. Сравнение проекций Кабинетная проекция (аксонометрическая косоугольная фронтальная диметрическая проекция) Рис. 2.23.Кабинетная проекция Свободная проекция (аксонометрическая косоугольная горизонтальная изометрическая проекция) Рис. 2.24.Свободная проекция Центральная проекция Центральные проекции параллельных прямых, не параллельных плоскости проекции, сходятся в точкесхода . В зависимости от числа координатных осей, которые пересекает плоскость проекции, различаются одно, двух и трехточечные центральные проекции. Рис. 2.25. Центральная проекция Рассмотрим пример перспективной (центрально) проекции для вертикального расположения камеры, когда α = β = 0. Такую проекцию можно себе представить как изображение на стекле, через которое смотрит наблюдатель, расположенный сверху в точке (х, у, z ) = (0, 0, z k). Здесь плоскость проецирования параллельна плоскости (х 0 у), как показано на рис. 2. 26. Для произвольной точки пространства (Р), исходя из подобия треугольников, запишем такие пропорции: X пр /(z k – z пл) = x/(z k – z) Y пр /(z k – z пл) = y/(z k – z) Найдем координаты проекции, учитывая также координату Ζпр: Запишем такие преобразования координат в функциональном виде где Π - функция перспективного преобразования координат. Рис. 2.26.Перпективная проекция В матричной форме преобразования координат можно записать так: Обратите внимание на то, что здесь коэффициенты матрицы зависят от координаты z (в знаменателе дроби). Это означает, что преобразование координат - нелинейное (а точнее, дробно-линейное), оно относится к классу проективных преобразований. Мы получили формулы вычисления координат проекции для случая, когда точка схода лучей находится на оси z . Теперь рассмотрим общий случай. Введем видовую систему координат {X, Υ, Ζ), произвольно расположенную в трехмерном пространстве (х, у, z ). Пусть точка схода находится на оси Ζ видовой системы координат, а направление обзора - вдоль оси Ζ противоположно ее направлению. Будем считать, что преобразование в видовые координаты описывается трехмерным аффинным преобразованием После вычисления координат (X, Y, Z) можно вычислить координаты в плоскости проецирования в соответствии с формулами, уже рассмотренными нами ранее. Поскольку точка схода находится на оси Ζ видовых координат, то Последовательность преобразования координат можно описать так: Такое преобразование координат позволяет моделировать расположения камеры в любой точке пространства и отображать в центре плоскости проецирования любые объекты обзора. Рис. 2.27. Центральная проекция точки P 0 в плоскость Z = d Глава 3. Растровая графика. Базовые растровые алгоритмы |
Читайте: |
---|
Популярное:
Новое
- Картографические проекции и их классификация Для чего нужны картографические проекции
- «Уроки французского» анализ История создания рассказа «Уроки французского»
- Равнодушие и отзывчивость Как написать хорошее сочинение
- Условия равновесия твердого тела
- Задачи на разрезание и перекраивание фигур
- Процессы жизнедеятельности как пример необратимых процессов
- Константин Сперанский «Кто знает, о чем думает Амалия?
- Ассоциации к слову «Звук Ассоциация к слову звук фон звучание буква
- Предсказания рэя брэдбери, которые сбылись Предсказания Рэя Брэдбери
- Анализ причин и реалистический сценарий Чернобыльской аварии (16 фото)