Разделы сайта
Выбор редакции:
- Праздники на английском языке с переводом Проект по английскому языку 23 февраля
- Картографические проекции и их классификация Для чего нужны картографические проекции
- «Уроки французского» анализ История создания рассказа «Уроки французского»
- Равнодушие и отзывчивость Как написать хорошее сочинение
- Условия равновесия твердого тела
- Задачи на разрезание и перекраивание фигур
- Процессы жизнедеятельности как пример необратимых процессов
- Константин Сперанский «Кто знает, о чем думает Амалия?
- Ассоциации к слову «Звук Ассоциация к слову звук фон звучание буква
- Предсказания рэя брэдбери, которые сбылись Предсказания Рэя Брэдбери
Реклама
Вычисление интегралов с бесконечными пределами. Метод решения несобственного интеграла с бесконечным нижним пределом. Несобственные интегралы от неограниченных функций |
Определенный интеграл как предел интегральной суммы может существовать (т.е. иметь определенное конечное значение) лишь при выполнении условий Если
хотя бы одно из этих условий нарушено,
то определение теряет смысл. Действительно,
в случае бесконечного отрезка, например
[a
;
)
его нельзя разбить на п
частей конечной длины
Определение. Пусть
функция
Таким
образом, по определению,
Если
предел справа существует и конечен, то
несобственный интеграл
Аналогично
можно ввести понятие несобственного
интеграла от функции
= А
несобственный интеграл от функции
= где а – произвольная точка. Этот интеграл сходится, если сходятся оба слагаемых, и расходится, если расходится хотя бы одно из слагаемых. С
геометрической точки зрения, интеграл
На случай интеграла с бесконечным пределом можно обобщить и формулу Ньютона-Лейбница :
=
где
F(+
)
=
Мы рассмотрели обобщение понятия определенного интеграла на случай бесконечного промежутка. Рассмотрим теперь обобщение для случая неограниченной функции. ОпределениеПусть
функция
Таким образом, несобственный интеграл от неограниченной в точке b функции есть по определению = Если предел справа существует и конечен, то интеграл называется сходящимся . Если конечного предела не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся. Аналогично
можно определить несобственный интеграл
от функции
= Если
функция
= Этот интеграл сходится, если сходятся оба слагаемых, и расходится, если расходится хотя бы одно слагаемое. С геометрической точки зрения, несобственный интеграл от неограниченной функции также характеризует площадь неограниченной криволинейной трапеции: Поскольку несобственный интеграл выводится путем предельного перехода из определенного интеграла, то все свойства определенного интеграла могут быть перенесены (с соответствующими уточнениями) на несобственные интеграла первого и второго рода. Во многих задачах, приводящих к несобственным интегралам, не обязательно знать, чему равен этот интеграл, достаточно лишь убедиться в его сходимости или расходимости. Для этого используют признаки сходимости . Признаки сходимости несобственных интегралов: 1) Признак сравнения . Пусть
для всех х
2)
Если сходится
Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов от неограниченных функций аналогичны сформулированным выше. Примеры решения задач. Пример 1. а)
г)
Решение. а) По определению имеем: . б) Аналогично Следовательно, данный интеграл сходится и равен . в)
По определению
Данный интеграл сходится. Значит, данный интеграл расходится. д)
Рассмотрим Поскольку
ни
Следовательно, данный интеграл расходится. Пример 2. Исследовать сходимость интеграла в зависимости от п . Решение. При
Если
Если
= , Следовательно, интеграл сходится. Если
следовательно, интеграл расходится. Таким
образом,
Пример 3. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: а)
Решение. а)
Интеграл
. Интеграл сходится и равен . б)
Рассмотрим Следовательно, интеграл расходится. в)
Рассмотрим
= . Следовательно,
интеграл сходится и равен
Иногда такие несобственные интегралы называют несобственными интегралами второго рода . Несобственные интегралы второго рода коварно «шифруются» под обычный определенный интеграл и выглядят точно так же: . Но, в отличие от определенного интеграла, подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв (не существует): 1) в точке , 2) точке , 3) в обеих точках сразу, 4) или даже на отрезке интегрирования. Мы рассмотрим первые два случая, для случаев 3-4 в конце статьи есть ссылка на дополнительный урок. Рассмотрим сразу пример, чтобы было понятно: Вроде бы это определенный интеграл. Но на самом деле – это несобственный интеграл второго рода, так как если мы подставим в подынтегральную функцию, то значение нижнего предела тогда знаменатель у нас обращается в ноль, то есть подынтегральной функции в этой точке просто не существует! При анализе несобственного интеграла всегда нужно подставлять в подынтегральную функцию оба предела интегрирования . В этой связи проверим и верхний предел: Здесь всё хорошо. Криволинейная трапеция для рассматриваемой разновидности несобственного интеграла принципиально выглядит так: Здесь почти всё так же, как в интеграле первого рода. Наш интеграл численно равен площади заштрихованной криволинейной трапеции, которая не ограничена сверху. При этом могут быть два варианта: несобственный интеграл расходится (площадь бесконечна), либо несобственный интеграл равен конченому числу (когда площадь бесконечной фигуры – конечна!). Осталось только модифицировать формулу Ньютона-Лейбница. Она тоже модифицируется с помощью предела, но предел стремится уже не к бесконечности, а к значениюсправа. Легко проследить по чертежу, что по оси OX справа . Посмотрим, как это реализуется на практике. Пример 6 (не забываем устно или на черновике проверить, всё ли нормально с верхним пределом!). Сначала вычислим неопределенный интеграл: У кого возникли трудности с заменой, обратитесь к уроку Метод замены в неопределенном интеграле . Вычислим несобственный интеграл: (1) Что здесь нового? По технике решения практически ничего. Единственное, что поменялось, это запись под значком предела: Добавка +0 обозначает, что мы стремимся к значению ¾ справа, что логично (см. график). Такой предел в теории пределов называют односторонним пределом . В данном случае у нас правосторонний предел . (2) Подставляем верхний и нижний предел по формуле Ньютона Лейбница. (3) Разбираемся с при . Как определить, куда стремится выражение? Грубо говоря, в него нужно просто подставить значение , подставляем три четверти и указываем, что . Причесываем ответ. В данном случае несобственный интеграл равен отрицательному числу. В этом никакого криминала нет, просто соответствующая криволинейная трапеция расположена под осью OX . А сейчас примеры для самостоятельного решения. Пример 7 Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость. Пример 8 Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость. Если подынтегральной функции не существует в точке Бесконечная криволинейная трапеция для такого несобственного интеграла принципиально выглядит следующим образом: Здесь всё абсолютно делаем так же, за исключением того, что предел у нас стремится к значению b слева. По оси OX мы должны бесконечно близко приблизиться к точке разрыва слева . Пример 9 Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость. Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке b = 3 (устно проверяем, что с другим пределом интегрирования всё нормально!). Для разнообразия решим этот предел сразу – методом подведения функции под знак дифференциала. Те, кому трудно, могут сначала найти неопределенный интеграл по уже рассмотренной схеме. Добавка (-0) обозначает, что предел у нас левосторонний , и к точке b = 3 мы приближаемся по оси OX слева . Разбираемся, почему дробь (это лучше делать устно или на черновике). Подставляем под корень предельное значение b = 3 - 0. Окончательно: Несобственный интеграл расходится. Знак минус обозначает, что соответствующая криволинейная трапеция расположена под осьюOX . Будьте очень внимательны в знаках. Да, конечно, несобственный интеграл расходится, но и – это разные вещи, разные жанры, и если Вы недосмотрите за знаками, то, строго говоря, допустите серьезную ошибку. И заключительные два примера для самостоятельного рассмотрения: Пример 10 Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость. Пример 11 Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость. Разбор ситуации, когда оба предела интегрирования «плохие», или точка разрыва содержится прямо на отрезке интегрирования, можно найти в статье Эффективные методы решения определённых и несобственных интегралов . Решения и ответы: Пример 4: Решение: . Пример 5: Решение: Подынтегральная функция непрерывна на .
Пример 7: Решение:
Несобственный интеграл расходится. Примечание: с пределом выражения Рассмотрим два вида несобственных интервалов:
Несобственные интегралы первого рода с бесконечными пределами интегрированияОпределение: Интегралы вида: называются несобственными интегралами I-го рода с бесконечными пределами, которые определяются с помощью пределов: Определение Несобственные интегралы называются сходящимися, если существуют конечные пределы, с помощью которых эти интегралы определяются. Несобственные интегралы называются расходящимися, если эти пределы не существуют или бесконечные. Действительно, пусть функция f(x) определена и непрерывна при любом значении x=в из полубесконечного отрезка функций имеем: Он сходится к 1. Тогда согласно теореме 1 несобственный интеграл от меньшей функции: также сходится и его значение меньше 1. Теорема 2. Если для знакоположительных функций, для которых выполняется неравенство 0?g(x)?f(x), при любых х? а, несобственный интеграл от меньшей функции расходится, то расходится и несобственный интеграл от большей функции. Пример. Исследовать сходимость интеграла: Решение. Сравним подинтегральную функцию с функцией. Для знакоположительных на интервале } |
Читайте: |
---|
Популярное:
Новое
- Картографические проекции и их классификация Для чего нужны картографические проекции
- «Уроки французского» анализ История создания рассказа «Уроки французского»
- Равнодушие и отзывчивость Как написать хорошее сочинение
- Условия равновесия твердого тела
- Задачи на разрезание и перекраивание фигур
- Процессы жизнедеятельности как пример необратимых процессов
- Константин Сперанский «Кто знает, о чем думает Амалия?
- Ассоциации к слову «Звук Ассоциация к слову звук фон звучание буква
- Предсказания рэя брэдбери, которые сбылись Предсказания Рэя Брэдбери
- Анализ причин и реалистический сценарий Чернобыльской аварии (16 фото)